《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

21. (6分) 如图，直线$l_{1}$在平面直角坐标系中，直线$l_{1}$与$y$轴交于点$A$，点$B( - 3,3)$也在直线$l_{1}$上，将点$B$先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点$C$，点$C$恰好也在直线$l_{1}$上。
(1) 求点$C$的坐标和直线$l_{1}$的解析式；
(2) 已知直线$l_{2}:y = x + b$经过点$B$，与$y$轴交于点$E$，求$\triangle ABE$的面积。

答案： 解：
(1)由题意，得点$C$的坐标为$(-2,1)$.
设直线$l_1$的解析式为$y = kx + c$.
$\because$点$B$，$C$在直线$l_1$上，
$\therefore \begin{cases}-3k + c = 3,\\ -2k + c = 1.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -2,\\ c = -3.\end{cases}$
$\therefore$直线$l_1$的解析式为$y = -2x - 3$.
(2)把点$B$的坐标代入$y = x + b$，得$3 = -3 + b$.
解得$b = 6$.
$\therefore y = x + 6$.
$\therefore$点$E$的坐标为$(0,6)$.
$\because$直线$y = -2x - 3$与$y$轴交于点$A$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(0,-3)$.
$\therefore AE = 6 + 3 = 9$.
$\because B(-3,3)$，
$\therefore S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \times 9 \times |-3| = 13.5$.

22. (6分) 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A( - 2,1)$，$B(6,2)$，$P$是$x$轴上一动点。求：
(1) $PA + PB$的最小值及此时点$P$的坐标；
(2) $|PA - PB|$的最大值及此时点$P$的坐标。

答案：
解：
(1)如图，作点$A$关于$x$轴的对称点$A'$，连接$A'B$交$x$轴于点$P$，连接$PA$，此时$PA + PB$的值最小.
$\because A(-2,1)$，
$\therefore A'(-2,-1)$.
设直线$A'B$的解析式为$y = k_1x + b_1(k_1 \neq 0)$，
则$\begin{cases}-2k_1 + b_1 = -1,\\ 6k_1 + b_1 = 2.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1 = \frac{3}{8},\\ b_1 = -\frac{1}{4}.\end{cases}$
$\therefore$直线$A'B$的解析式为$y = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}$.
当$y = 0$时，$x = \frac{2}{3}$，
$\therefore P(\frac{2}{3},0)$.
$\because A'(-2,-1)$，$B(6,2)$，
$\therefore A'B = \sqrt{(-2 - 6)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{73}$.
即$PA + PB$的最小值为$\sqrt{73}$.

(2)作直线$AB$交$x$轴于点$P$.由题意可知，此时点$P$到$A$，$B$两点距离之差的绝对值最大，且$|PA - PB|$的最大值为
$AB = \sqrt{(-2 - 6)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{65}$.
设直线$AB$的解析式为$y = k_2x + b_2(k_2 \neq 0)$.
$\because A(-2,1)$，$B(6,2)$，
$\therefore \begin{cases}-2k_2 + b_2 = 1,\\ 6k_2 + b_2 = 2.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2 = \frac{1}{8},\\ b_2 = \frac{5}{4}.\end{cases}$
$\therefore$直线$AB$的解析式为$y = \frac{1}{8}x + \frac{5}{4}$.
令$y = 0$，得$0 = \frac{1}{8}x + \frac{5}{4}$，解得$x = -10$.
$\therefore$点$P$的坐标是$(-10,0)$.