《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

27. (10分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,4)。点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE = OF，连接AF。
(1) 求线段AB的长；
(2) 求AE + AF的值；
(3) 在y轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： 解：
(1)$\because$点$A(4,0)$，$B(0,4)$，
$\therefore OA = OB = 4$.
$\therefore AB = 4\sqrt{2}$.
(2)$\because\angle AOB=\angle EOF = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle BOE+\angle EOA = \angle AOF+\angle EOA$.
$\therefore\angle BOE=\angle AOF$.
在$\triangle BOE$和$\triangle AOF$中，
$\begin{cases}OB = OA,\\\angle BOE=\angle AOF,\\OE = OF,\end{cases}$
$\therefore\triangle BOE\cong\triangle AOF$.
$\therefore BE = AF$.
$\therefore AE + AF = AE + BE = AB = 4\sqrt{2}$.
(3)存在.$P_{1}(0,-4)$，$P_{2}(0,0)$，$P_{3}(0,4 + 4\sqrt{2})$，$P_{4}(0,4 - 4\sqrt{2})$.