《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

22. (6分)如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F.
(1)猜想线段AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
(2)求线段BD的长.

答案： 解：
(1)$AC\perp BD$.证明如下：
$\because\triangle DCE$由$\triangle ABC$平移而得到，$\triangle ABC$为等边三角形
$\therefore BC = CD = CE$，$\angle E=\angle ACB=\angle DCE = 60^{\circ}$
$\therefore\angle DBC=\angle BDC=\frac{1}{2}\angle DCE = 30^{\circ}$
$\therefore\triangle BDE$为直角三角形，$\angle BDE = 90^{\circ}$
又$\angle ACB=\angle E = 60^{\circ}$
$\therefore AC// DE$
$\therefore\angle BFC=\angle BDE = 90^{\circ}$
$\therefore AC\perp BD$
(2)在$Rt\triangle BED$中，
$\because BE = 6$，$DE = 3$，$\angle BDE = 90^{\circ}$
$\therefore BD=\sqrt{BE^{2}-DE^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}$

23. (7分)如图，四边形ABCD的三边AB，BC，CD和BD都为5 cm，动点P从点A出发按A→B→D的路线运动到点D，速度为2 cm/s.动点Q从点D出发按D→C→B→A的路线运动到点A，速度为2.8 cm/s.5 s时点P，Q相距3 cm，试确定5 s时△APQ的形状.

答案：
解：5 s时点$P$，$Q$的位置如图所示，
$\therefore$点$P$运动的距离为$2\times5 = 10\ cm$，点$P$运动到点$D$，
点$Q$运动的距离为$2.8\times5 = 14\ cm$ 
$\because CD = BC = AB = 5\ cm$，
$\therefore BQ = 14 - 10 = 4\ cm$.
连接$DQ$，在$\triangle BDQ$中，
$\because BD = 5\ cm$，$BQ = 4\ cm$，$DQ = PQ = 3\ cm$，
$\therefore BQ^{2}+DQ^{2}=BD^{2}$
$\therefore\triangle APQ$是直角三角形.