《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

26. (10分)已知矩形ABCD中，AB = 4 cm，BC = 8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.
(1) 如图①，连接AF，CE，求证:四边形AFCE为菱形;
(2) 如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止.
① 已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值;
② 若点P，Q的运动路程分别为a cm，b cm($ab\neq0$)，已知以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出求a与b满足的数量关系式.

答案：
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD// BC$.
$\therefore\angle CAD = \angle ACB$，$\angle AEF = \angle CFE$.
$\because EF$垂直平分$AC$，垂足为$O$，
$\therefore OA = OC$.
$\therefore\triangle AOE\cong\triangle COF$.
$\therefore OE = OF$.
$\therefore$四边形$AFCE$为平行四边形.
又$EF\perp AC$，
$\therefore$平行四边形$AFCE$为菱形.
(2)解：①显然当点$P$在$AF$上时，点$Q$在$CD$上，$A$，$C$，$P$，$Q$四点不可能构成平行四边形；
同理，当点$P$在$AB$上时，点$Q$在$DE$或$CE$上，$A$，$C$，$P$，$Q$四点也不可能构成平行四边形；
只有当点$P$在$BF$上，点$Q$在$ED$上时，$A$，$C$，$P$，$Q$四点才可能构成平行四边形.
以$A$，$C$，$P$，$Q$四点为顶点的四边形是平行四边形时，$PC = QA$.
$\because$点$P$的速度为$5\mathrm{cm/s}$，点$Q$的速度为$4\mathrm{cm/s}$，运动时间为$t\mathrm{s}$，
$\therefore PC = 5t$，$QA = 12 - 4t$.
$\therefore 5t = 12 - 4t$，解得$t=\frac{4}{3}$.
$\therefore$以$A$，$C$，$P$，$Q$四点为顶点的四边形是平行四边形时，$t=\frac{4}{3}$.
②$a + b = 12$.