《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

26. (8分)设$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，求$a^{2}+\frac{1}{2}ab + b^{2}$的值。

答案： 解：根据题意，得a + b = $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ = $\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}$，
∴a = 3，b = 2 + $\sqrt{3}$ - 3 = $\sqrt{3}$ - 1，
∴a² + $\frac{1}{2}$ab + b²
= 9 + $\frac{1}{2}$×3×($\sqrt{3}$ - 1)
= 9 + $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ - $\frac{3}{2}$ + 4 - 2$\sqrt{3}$ + 1
= $\frac{23}{2}$ - $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

27. (8分)若$x$，$y$是实数，且$y=\sqrt{4x - 1}+\sqrt{1 - 4x}+\frac{1}{3}$，求$(\frac{2}{3}x\sqrt{9x}+\sqrt{4xy})-(\sqrt{x^{3}}+\sqrt{25xy})$的值。

答案： 解：
∵x，y是实数，且y = $\sqrt{4x - 1}$ + $\sqrt{1 - 4x}$ + $\frac{1}{3}$，
∴4x - 1≥0且1 - 4x≥0，解得x = $\frac{1}{4}$，
∴y = $\frac{1}{3}$，
∴($\frac{2}{3}$x$\sqrt{9x}$ + $\sqrt{4xy}$) - ($\sqrt{x³}$ + $\sqrt{25xy}$)
= 2x$\sqrt{x}$ + 2$\sqrt{xy}$ - x$\sqrt{x}$ - 5$\sqrt{xy}$
= x$\sqrt{x}$ - 3$\sqrt{xy}$.
当x = $\frac{1}{4}$，y = $\frac{1}{3}$时，原式 = $\frac{1}{4}$$\sqrt{\frac{1}{4}}$ - 3$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{1}{3}}$
= $\frac{1}{8}$ - $\frac{\sqrt{3}}{2}$
= $\frac{1 - 4\sqrt{3}}{8}$.

28. 新理念 阅读理解试题(8分)先阅读，再回答问题：
当$x$为何值时，$\sqrt{x(x - 2)}$有意义？
解：要使原式有意义，则$x(x - 2)\geqslant0$，由乘法法则：两数相乘，同号得正，得$\begin{cases}x\geqslant0,\\x - 2\geqslant0\end{cases}$或$\begin{cases}x\leqslant0,\\x - 2\leqslant0\end{cases}$
解得$x\geqslant2$或$x\leqslant0$。
即当$x\geqslant2$或$x\leqslant0$时，$\sqrt{x(x - 2)}$有意义。
体会解题思想后，解答：当$x$为何值时，$\sqrt{\frac{x - 2}{x + 4}}$有意义？

答案： 解：要使原式有意义，则$\frac{x - 2}{x + 4}$≥0，由乘法法则：两数相乘，同号得正，得
$\begin{cases}x - 2\geqslant0\\x + 4\gt0\end{cases}$或$\begin{cases}x - 2\leqslant0\\x + 4\lt0\end{cases}$
解得x≥2或x＜ - 4.即当x≥2或x＜ - 4时，原式有意义.