《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

27.新理念 探究性试题 (10分)如图,在△ABC中,∠C = 90°,AC = 8,BC = 6,P,Q是△ABC边上的两个动点,点P从点A开始沿A→C方向运动,且速度为每秒1个单位长度,点Q从点C开始沿C→B→A方向运动,且速度为每秒2个单位长度,它们同时出发,设运动时间为t(0 ＜ t ≤ 8)秒.
(1)出发2秒后,求线段PQ的长;
(2)t为何值时,△APB是等腰三角形?
(3)当点Q在边BA上运动时,求能使△CBQ为等腰三角形的运动时间.

答案：
解：
(1)当$t = 2$时，$CQ = 2\times2 = 4$，$CP = 8 - 1\times2 = 6$，
由勾股定理，得$PQ=\sqrt{CQ^{2}+CP^{2}}=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=2\sqrt{13}$.
(2)如图①，当$\triangle APB$是等腰三角形时，$AP = BP = t$，则$CP = 8 - t$.
在$Rt\triangle CPB$中，由勾股定理，得$6^{2}+(8 - t)^{2}=t^{2}$.
$\therefore t=\frac{25}{4}$.
因此，当$t=\frac{25}{4}$时，$\triangle APB$是等腰三角形.

(3)$\because \triangle ABC$是直角三角形，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$.
分以下三种情况：
①若$CQ = BQ$，如图②，
则$\angle B=\angle BCQ$.
$\because \angle B+\angle A=\angle BCQ+\angle ACQ = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle A=\angle ACQ$.
$\therefore AQ = CQ = BQ = 5$.
$\therefore 2t - 6 = 5$.
$\therefore t = 5.5$；

②若$BQ = BC$，如图③，
则$2t - 6 = 6$.
$\therefore t = 6$；

③若$CQ = CB$，如图④
过点$C$作$CE\perp AB$于点$E$，
则$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CE$，
即$\frac{1}{2}\times8\times6=\frac{1}{2}\times10\times CE$.
$\therefore CE=\frac{24}{5}$.
$\therefore BE=\sqrt{BC^{2}-CE^{2}}=\sqrt{6^{2}-(\frac{24}{5})^{2}}=\frac{18}{5}$.
$\therefore BQ = 2BE=\frac{36}{5}$.
$\therefore 2t - 6=\frac{36}{5}$.
$\therefore t = 6.6$.
综上可知，当$\triangle BQC$为等腰三角形时，点$Q$的运动时间为5.5 s或6 s或6.6 s.