《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

23. (6分) 如图，在正方形$ABCD$中，$E,F$分别是$BC$和$CD$边上的点，$CE=\frac{1}{4}BC$，$F$为$CD$的中点，连接$AF,AE,EF$.
(1) 判断$\triangle AEF$的形状，并说明理由;
(2) 设$AE$的中点为$O$，判断$\angle BOF$和$\angle BAF$的数量关系，并证明你的结论.

答案： 解:
(1)△AEF为直角三角形.
理由:设正方形ABCD的边长为x，
　　　则AE²=1625​x², AF²=45​x²,　
　　　　　EF²=165​x².
　
　
∴AE²=AF²+EF².
　
　
∴AEF为直角三角形.
(2) 结论： \(\angle BOF = 2\angle BAF\)
　　　　　证明:在Rt△ABE中,O为AE的中点，=BO=OE,∠BOE=2∠BAE.
　　　　　同理,在Rt△AEF中,AO=OF=OE,
                 
∴∠EOF=2∠EAF.
　
　
∴∠BOF=2∠BAF

24. (7分) 如图，在正方形$ABCD$中，点$E$在边$CD$上，$AQ\perp BE$于点$Q$，$DP\perp AQ$于点$P$.
(1) 求证$AP = BQ$;
(2) 在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于$PQ$.

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形，
　
　
　
∴AB=AD,　∠DAB=90°　　　　
　
　
　
　
∴∠BAQ+∠DAP=90°
                           
∵ DP⊥AQ,
　
　
　
　
∴ ∠APD=90°.
　
　
　
　
∴∠ADP+∠DAP=90°.
　
　
　
　
∴∠BAQ=∠ADP.
                              AQ⊥BE,
　　　　　　　　∠AQB=90°.
　　　　　　　　∠APD=∠AQB.
　　　　　　　　△DAP≌△ABQ.
                                 AP=BQ.
(2)AQ与AP,DP与AP,AQ与BQ,DP与BQ.