《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

27. 新理念 综合实践试题(10分)综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
(1) 操作判断
操作一:对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平;
操作二:在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图①中所有30°的角:______________;
(2) 迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下.
将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.
① 如图②，当点M在EF上时，∠MBQ = ______°，∠CBQ = ______°;
② 改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图③，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由;
(3) 拓展应用
在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm，当FQ = 1 cm时，直接写出AP的长.

答案： 解：
(1)$\angle ABP$，$\angle PBM$，$\angle MBC$，$\angle BME$.
(2)①15，15.
②$\angle MBQ = \angle CBQ$.
理由如下：
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB = BC$，$\angle A = \angle C = 90^{\circ}$.
由轴对称性质，得$BM = AB$，$\angle BMP = \angle A = 90^{\circ}$.
$\therefore\angle BMQ = \angle C = 90^{\circ}$，$BM = BC$.
又$BQ$是公共边，
$\therefore Rt\triangle MBQ\cong Rt\triangle CBQ$.
$\therefore\angle MBQ = \angle CBQ$.
(3)$\frac{40}{11}\mathrm{cm}$或$\frac{24}{13}\mathrm{cm}$.