《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

26. (8分) 在△ABC中,AD平分$\angle BAC,E$是直线BC上一点,$BD = DE$,过点E作EF//AB,交直线AC于点F.
(1) 当$\angle BAC = 120^{\circ},AC＞AB$时(如图①),易证:$AB + EF = AF$(不用证明);
(2) 当$\angle BAC = 90^{\circ},AB＞AC$时(如图②);当$\angle BAC = 60^{\circ},AB＞AC$时(如图③),线段AB,EF,AF之间又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想,并选择其中一个给予证明.

答案： 解：在图②和图③中，均有$AB = EF + AF$。
选择图②证明：延长EF，AD交于点M。
因为$EF// AB$，所以$\angle DAB = \angle M$。
因为$AD$平分$\angle CAB$，所以$\angle CAD = \angle DAB$，所以$\angle CAD = \angle M$，所以$FA = FM$。
在△EDM和△BDA中，
$\begin{cases}\angle M = \angle DAB\\\angle EDM = \angle BDA\\DE = DB\end{cases}$
所以△EDM≌△BAD，所以$EM = AB$。
因为$EM = EF + FM$，所以$AB = EF + AF$。