《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

27. 新理念 综合实践试题（10 分）正方形 ABCD 中，AC 为对角线，点 P 在射线 AC 上运动，以 PD 为边作正方形 DPFE，连接 CE.
【初步探究】
（1）如图①，当点 P 在线段 AC 上运动时，AP 与 CE 的数量关系为 ，AP 与 CE 的位置关系为 ；
【探索发现】
（2）当点 P 在线段 AC 及其延长线上运动时，如图①、图②，探究线段 CD，PC 和 CE 三者之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）当点 P 在线段 AC 的延长线上运动时，如图③，连接 AE，PE，若 AB = $\sqrt{2}$，AE = $\sqrt{29}$，求四边形 DCPE 的面积.

答案：
解：
(1)AP = CE,AP⊥CE.
(2)图①:PC + CE = $\sqrt{2}$CD.
图②:CE - PC = $\sqrt{2}$CD.
理由如下：
当点P在线段AC上运动时，
∴PC + CE = PC + AP = AC = $\sqrt{2}$CD.
当点P在线段AC的延长线上运动时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD = DC,∠ADC = 90°.
∵四边形DPFE是正方形，
∴DP = DE,∠PDE = 90°.
∴∠ADC + ∠CDP = ∠PDE + ∠CDP.
即∠ADP = ∠CDE.
在△ADP和△CDE中，
$\begin{cases}AD = CD,\\\angle ADP=\angle CDE,\\DP = DE,\end{cases}$
∴△ADP≌△CDE.
∴AP = CE.
∴CE - PC = AP - PC = AC = $\sqrt{2}$CD.
(3)由
(2)知△ADP≌△CDE，
∴∠DCE = ∠DAP = 45°.
∴∠ACE = ∠ACD + ∠DCE = 90°.
∵AB = $\sqrt{2}$,
∴CD = AD = $\sqrt{2}$.
∴AC = 2.
∴CE = $\sqrt{AE^{2}-AC^{2}}$ = $\sqrt{(\sqrt{29})^{2}-2^{2}}$ = 5.
∵AP = CE = 5,
∴PC = AP - AC = 5 - 2 = 3.
∴PE = $\sqrt{CE^{2}+PC^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}+3^{2}}$ = $\sqrt{34}$.
∴DE = DP = $\sqrt{17}$.
如图，连接BD,交AC于点O，
易知DO = $\frac{1}{2}$BD = 1.
∴S△PDE = $\frac{1}{2}$DE·DP = $\frac{1}{2}$×($\sqrt{17}$)^{2}=$\frac{17}{2}$.
S△PDC = $\frac{1}{2}$PC·DO = $\frac{1}{2}$×3×1 = $\frac{3}{2}$.
∴S四边形DCPE = S△PDE + S△PDC = $\frac{17}{2}$+$\frac{3}{2}$ = 10.