《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

28. 新理念 综合实践试题 (10分) 在四边形$ABCD$中，对角线$AC,BD$相交于点$O$，过点$O$的两条直线分别交边$AB,CD,AD,BC$于点$E,F,G,H$.
(1) 感知
如图①，若四边形$ABCD$是正方形，且$AG = BE$，则$S_{四边形AEOG}=$______$S_{正方形ABCD}$;
(2) 拓展
如图②，若四边形$ABCD$是矩形，且$S_{四边形AEOG}=\frac{1}{4}S_{矩形ABCD}$，设$AB = a$，$AD = b$，$BE = m$，求$AG$的长(用含$a,b,m$的代数式表示);
(3) 探究
如图③，若四边形$ABCD$是平行四边形，且$AB = 3$，$AD = 5$，$BE = 1$，试确定点$F,G,H$的位置，使直线$EF,GH$把平行四边形$ABCD$的面积四等分.

答案：
解:
(1)$\frac{1}{4}$.
(2)如图②,过O作ON⊥AD于点N,OM⊥
AB于点M.
　
∵S△AOB=$\frac{1}{4}$S矩形ABCD,S四边形AEOG=$\frac{1}{4}$
　
∴S△AOB=S四边形AEOG.
　
∵S△AOB=S△BOE+S△AOE,S四边形AEOG=S△AOG+S△AOE,
∴S△BOE=S△AOG.
　
∵S△BOE=$\frac{1}{2}$BE.OM =$\frac{1}{2}$m.$\frac{1}{2}$b =$\frac{1}{4}$mb,S△AOG=$\frac{1}{2}$AG.ON
AG.$\frac{1}{2}$
　　AG.a,G.a.
　
∴AG=$\frac{mb}{a}$.
　　　　
(3)如图③,过点O作KL⊥AB于点K,交CD 于点L,PQ⊥AD于点P,交BC于点Q，则KL=2OK,PQ=2OQ.
　
∵S平行四边形ABCD=AB.KL=AD.PQ,
∴3×20K=5×20Q.
　
∴$\frac{OK}{QQ}$=$\frac{5}{3}$.
S矩形ABCD,
　　a
　　　　　
∵S△AOB=
　S四边形AEOG=
∴
∴
∵S△βOE=
　S△AOG=
∴$\frac{1}{2}$
∴$\frac{OK}{OQ}$
∴
　等分.