《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

27. (10分) 我校开学初到商场购买A,B两种品牌的篮球,购买A种品牌的篮球50个,B种品牌的篮球25个,共花费4500元,已知购买一个B种品牌的篮球比购买一个A种品牌的篮球多花30元.
(1) 购买一个A种品牌、一个B种品牌的篮球各需多少元?
(2) 由于学生人数多,学校决定再次购进A,B两种品牌的篮球50个,正好赶上商场对商品价格进行调整,A种品牌的篮球售价比第一次购买时提高4元,B种品牌的篮球按第一次购买时售价的九折出售,如果学校此次购买A,B两种品牌的篮球的总费用不超过第一次花费的70%,且保证这次购买的B种品牌的篮球不少于23个,则这次学校有几种购买方案?
(3) 请直接写出学校在第二次购买活动中如何购买才能花费最少,最少需要多少资金?

答案： 解：
(1)设A种品牌篮球的单价为$x$元，B种品牌篮球的单价为$y$元。
依题意，得$\begin{cases}50x + 25y = 4500\\y = x + 30\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 50\\y = 80\end{cases}$
答：购买一个A种品牌的篮球需要50元，购买一个B种品牌的篮球需要80元。
(2)设第二次购买A种篮球$m$个，则购买B种篮球$(50 - m)$个。
依题意，得$\begin{cases}(50 + 4)m + 80\times0.9(50 - m)\leqslant4500\times70\%\\50 - m\geqslant23\end{cases}$
解得$25\leqslant m\leqslant27$。
因为$m$是正整数，所以$m = 25$，$26$，$27$。
所以这次学校购买篮球有三种方案。
(3)购买A种品牌的篮球27个，购买B种品牌的篮球23个时需要的资金最少，最少为3114元。

28. 新理念 综合探究试题(10分) 矩形OABC在平面直角坐标系中,点B的坐标为(5,4),将矩形沿过点C的直线翻折,使点B落在线段OA上的点D处,折痕交AB于点E.
(1) 如图①,求点E的坐标;
(2) 如图②,设直线CE交x轴于点F,$P(m,0)$是射线OA上一动点,过点P作x轴的垂线,分别交直线CE,直线CB和直线CD于点Q、点R和点K.连接KE,当$\angle CKE=\angle CFO$时,求m的值和线段CQ的长.

答案： 解：
(1)因为$BC = CD = 5$，$OC = 4$，所以$OD=\sqrt{CD^{2}-OC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$。
又$OA = 5$，所以$AD = 5 - 3 = 2$。
因为$AB = 4$，所以$BE = 4 - AE = DE$。
在Rt△ADE中，$AD^{2}+AE^{2}=DE^{2}$，即$2^{2}+AE^{2}=(4 - AE)^{2}$，解得$AE=\frac{3}{2}$。
所以$E(5,\frac{3}{2})$。
(2)因为$\angle BCE = \angle DCE$，$\angle BCE = \angle CFD$，$\angle CFD = \angle CKE$，所以$\angle CKE = \angle ECD = \angle CFD$，所以$EC = EK$，$DF = CD = 5$。
所以$OF = 8$。
又$DE\perp CK$，所以$CD = DK = 5$，所以$CK = 10$。
易证△COD≌△KPD，所以$PK = OC = 4$，$OD = DP = 3$，所以$OP = 6$，所以$m = 6$。
因为$S_{\triangle COF}=S_{梯形COPQ}+S_{\triangle PQF}$，所以$\frac{4\times8}{2}=\frac{(PQ + 4)\times6}{2}$，解得$PQ = 1$。
所以$RQ = 4 - 1 = 3$。
又$CR = 6$，所以$CQ=\sqrt{CR^{2}+QR^{2}}=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。