《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

24.(8分)已知$7+\sqrt{3}$和$7-\sqrt{3}$的小数部分分别为m,n,试求mn + m + n - 1的值.

答案： 解：$\because \sqrt{3}$的整数部分为1，
$\therefore 7+\sqrt{3}$的整数部分为8，$7-\sqrt{3}$的整数部分为5.
$\therefore 7+\sqrt{3}=8 + m$，$7-\sqrt{3}=5 + n$.
$\therefore m=\sqrt{3}-1$，$n = 2-\sqrt{3}$.
$\therefore mn + m + n - 1$
$=(\sqrt{3}-1)(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}-1+2-\sqrt{3}-1$
$=3\sqrt{3}-5$.

25.(8分)如图①所示的赵爽弦图由四个全等的直角三角形拼成,利用它可以证明勾股定理.思路是大正方形的面积有两种求法,一种是等于$c^{2}$,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,即$\frac{1}{2}ab\times4+(b - a)^{2}$,从而得到等式$c^{2}=\frac{1}{2}ab\times4+(b - a)^{2}$,化简可得结论$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法,我们称之为“双求法”.请你用“双求法”解决下面两个问题:
(1)如图②,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,CD是AB边上的高,AC = 3,BC = 4,求CD的长度;
(2)如图③,在△ABC中,AD是BC边上的高,AB = 4,AC = 5,BC = 6,设BD = x,求x的值.

答案： 解：
(1)在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 3$，$BC = 4$，
由$Rt\triangle ABC$面积的两种算法，可得$\frac{1}{2}\times3\times4=\frac{1}{2}\times5\times CD$，
解得$CD=\frac{12}{5}$.
(2)因为在$Rt\triangle ABD$中，$AD^{2}=4^{2}-x^{2}=16 - x^{2}$，
在$Rt\triangle ADC$中，$AD^{2}=5^{2}-(6 - x)^{2}=-11 + 12x - x^{2}$，
所以$16 - x^{2}=-11 + 12x - x^{2}$.
解得$x=\frac{9}{4}$.

26.(10分)如图,M是等边三角形ABC内的一点,连接MA,MB,MC,以BM为边作∠MBN = 60°,且BN = BM,连接CN.
(1)猜想AM与CN之间的数量关系,并说明你的理由;
(2)若MA∶MB∶MC = 3∶4∶5,连接MN,试判断△MNC的形状,并说明理由.

答案： 解：
(1)猜想：$AM = CN$.
理由：$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore AB = BC$，$\angle ABC = 60^{\circ}$.
$\because \angle MBN = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle ABM+\angle MBC=\angle CBN+\angle MBC = 60^{\circ}$.
$\therefore \angle ABM=\angle CBN$.
在$\triangle ABM$与$\triangle CBN$中，
$\begin{cases}AB = BC\\\angle ABM=\angle CBN\\BM = BN\end{cases}$
$\therefore \triangle ABM\cong\triangle CBN(SAS)$.
$\therefore AM = CN$.
(2)$\triangle MNC$是直角三角形.
理由：$\because MA:MB:MC = 3:4:5$，
$\therefore$设$MA = 3a$，$MB = 4a$，$MC = 5a$.
$\because BM = BN$，$\angle MBN = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle MBN$是等边三角形.
$\therefore BM = BN = MN = 4a$.
由
(1)知$MA = CN = 3a$.
在$\triangle MNC$中，$MN^{2}=(4a)^{2}=16a^{2}$，$CN^{2}=(3a)^{2}=9a^{2}$，$CM^{2}=(5a)^{2}=25a^{2}$，
$\therefore MN^{2}+CN^{2}=CM^{2}$.
$\therefore \triangle MNC$是直角三角形.