《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

28.新理念|探究性试题(10分)如图，已知△ABC中，∠B = 90°，AB = 16cm，BC = 12cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止.
(1)点P，Q出发4秒后，求PQ的长；
(2)当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟，△CQB能形成直角三角形？
　　　

答案： 解：
(1)由题意，得$BQ = 2\times4 = 8\text{ cm}$，$BP = AB - AP = 16 - 1\times4 = 12\text{ cm}$.
$\because \angle B = 90^{\circ}$
$\therefore PQ=\sqrt{BP^{2}+BQ^{2}}=\sqrt{12^{2}+8^{2}}=4\sqrt{13}\text{ cm}$.
即$PQ$的长为$4\sqrt{13}\text{ cm}$.
(2)当$BQ\perp AC$时，$\angle BQC = 90^{\circ}$.
$\because \angle ABC = 90^{\circ},AB = 16\text{ cm},BC = 12\text{ cm}$
$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{16^{2}+12^{2}}=20\text{ cm}$.
$\because \frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{AC\cdot BQ}{2}$
$\therefore \frac{16\times12}{2}=\frac{20BQ}{2}$
$\therefore BQ=\frac{48}{5}\text{ cm}$.
$\therefore CQ=\sqrt{BC^{2}-BQ^{2}}=\sqrt{12^{2}-(\frac{48}{5})^{2}}=\frac{36}{5}\text{ cm}$.
$\therefore$当$\triangle CQB$是直角三角形时，经过的时间为$(12+\frac{36}{5})\div2 = 9.6$秒或$(12 + 20)\div2 = 16$秒.
综上可得，当点$Q$在边$AC$上运动$9.6$秒或$16$秒，$\triangle CQB$是直角三角形.