《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

27. (10分) 为了迎接“十一”长假的购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋,其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表:
|运动鞋|甲|乙|
|--|--|--|
|进价/(元/双)|m|m - 20|
|售价/(元/双)|240|160|
已知用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
(1) 求m的值;
(2) 要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润 = 售价 - 进价)不少于21700元,且不超过22300元,问该专卖店有几种进货方案?
(3) 在(2)的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50 ＜ a ＜ 70)元出售,乙种运动鞋价格不变,那么该专卖店要获得最大利润应如何进货?

答案： 解：
(1)依题意得$\frac{3000}{m} = \frac{2400}{m - 20}$.
解得m = 100.
经检验m = 100是原分式方程的解，且符合题意.
所以m = 100.
(2)设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋(200 - x)双.
根据题意，得
$\begin{cases}(240 - 100)x + (160 - 80)(200 - x) \geq 21700①,\\(240 - 100)x + (160 - 80)(200 - x) \leq 22300②,\end{cases}$
解不等式①，得x ≥ 95.
解不等式②，得x ≤ 105.
所以不等式组的解集是95 ≤ x ≤ 105.
∵x是正整数，
∴共有11种进货方案.
(3)设总利润为W元，则
W = (240 - 100 - a)x + (160 - 80)(200 - x)
=(60 - a)x + 16000(95 ≤ x ≤ 105)，
①当50 ＜ a ＜ 60时，
60 - a ＞ 0，W随x的增大而增大，
所以当x = 105时，W有最大值，
此时应购进甲种运动鞋105双，乙种运动鞋95双；
②当a = 60时，
60 - a = 0，W = 16000，
(2)中所有方案获利都一样；
③当60 ＜ a ＜ 70时，60 - a ＜ 0，
W随x的增大而减小.
所以当x = 95时，W有最大值，
此时应购进甲种运动鞋95双，乙种运动鞋105双.

28. 新理念 综合探究题 (10分) 如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴、y轴上,线段OA,OB的长(OA ＜ OB)是方程组$\begin{cases}2x = y \\ 3x - y = 6\end{cases}$的解,C是直线y = 2x与直线AB的交点,点D在线段OC上,OD = 2$\sqrt{5}$.
(1) 求点C的坐标;
(2) 求直线AD的解析式;
(3) P是直线AD上的点,在平面内是否存在点Q,使以O,A,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

答案： 解：
(1)解方程组$\begin{cases}2x = y,\\3x - y = 6,\end{cases}$
得$\begin{cases}x = 6,\\y = 12.\end{cases}$
∵OA ＜ OB，
∴OA = 6，OB = 12.
即A(6,0)，B(0,12).
设直线AB的解析式为y = kx + b(k ≠ 0)，
则$\begin{cases}6k + b = 0,\\b = 12,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -2,\\b = 12.\end{cases}$
∴直线AB的解析式为y = -2x + 12.
联立$\begin{cases}y = -2x + 12,\\y = 2x,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 6.\end{cases}$
∴点C的坐标为(3,6).
(2)设点D的坐标为(a,2a)，
∵OD = 2$\sqrt{5}$，
∴a² + (2a)² = (2$\sqrt{5}$)².
解得a = ± 2.
∵点D在线段OC上，
∴a = 2.
∴D(2,4).
设直线AD的解析式为y = mx + n(m ≠ 0)，
把A(6,0)，D(2,4)代入，
得$\begin{cases}6m + n = 0,\\2m + n = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = -1,\\n = 6.\end{cases}$
∴直线AD的解析式为y = -x + 6.
(3)存在. 点Q的坐标为(-3$\sqrt{2}$,3$\sqrt{2}$)或(3$\sqrt{2}$,-3$\sqrt{2}$)或(6,6)或(3,-3).