《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

28. 新理念 综合探究试题（10 分）如图①，已知四边形 ABCD 是正方形，E 是边 BC 上一点，连接 AE，∠AEM = 90°，AE = EM，连接 AC，MC.
（1）求证∠ACM = 90°；
（2）如图②，若 BE = 3CE，CM = 3$\sqrt{2}$，连接 DM，求 DM 的长；
（3）如图③，在（2）的条件下，过点 D 作 DN // ME 交 AE 于点 O，交 AB 于点 N，连接 MN，DE 交于点 G，连接 OC，过点 G 作 GP ⊥ OC 于点 P，请直接写出线段 PG 的长.

答案：
解：
(1)证明：过点M作MH⊥BC于点H,如图①.
∵∠AEB + ∠1 = 90°,∠AEB + ∠2 = 90°,
∴∠1 = ∠2.
又∠B = ∠EHM = 90°,AE = EM,
∴△ABE≌△EHM.
∴AB = EH,BE = HM.
∵AB = BC,
∴BC = EH.
∴BE = CH.
∴CH = MH.
又∠CHM = 90°,
∴∠MCH = 45°.
∵∠ACB = 45°,
∴∠ACM = 90°.
(2)过点M作MF⊥CD于点F,如图②.
∵CM平分∠DCH,
∴FM = MH = CH.
∵CM = 3$\sqrt{2}$,
∴CF = CH = MH = FM = 3.
∴BE = 3.
∵BE = 3CE,
∴CE = 1.
∴BC = CD = 4.
∴DF = 1.
∴DM = $\sqrt{DF^{2}+MF^{2}}$ = $\sqrt{10}$.
(3)$\frac{3\sqrt{17}}{10}$.