《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

24. (8分)如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.
(1)求证：AE = AF = CE = CF；
(2)设AE = a，ED = b，DC = c，请写出a，b，c三者之间的数量关系.

答案：
(1)证明：由题意知，$\angle AFE=\angle CFE$
在长方形$ABCD$中，$AD// BC$
$\therefore\angle AEF=\angle CFE$
$\therefore\angle AFE=\angle AEF$
$\therefore AE = AF$
又$AF = CF$，$AE = CE$
$\therefore AE = AF = EC = CF$
(2)解：由题意知，$EC = AE = a$，$ED = b$，$DC = c$
在$Rt\triangle CDE$中，由勾股定理，得$ED^{2}+DC^{2}=CE^{2}$
即$b^{2}+c^{2}=a^{2}$

25. (8分)如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，且CA = CB，CE = CD，∠ACB = ∠ECD = 90°，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.求证：AE² + AD² = 2BC².

答案：
证明：如图，连接$BD$
$\because\angle ACB = \angle ECD = 90^{\circ}$
$\therefore\angle ACE=\angle BCD$
$\because CE = CD$，$CA = CB$
$\therefore\triangle ACE\cong\triangle BCD(SAS)$
$\therefore AE = BD$，$\angle E=\angle BDC$
$\because\angle E=\angle ADC = 45^{\circ}$
$\therefore\angle ADB = 90^{\circ}$
$\therefore AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$
又$AE = BD$，$AB^{2}=2BC^{2}$
$\therefore AE^{2}+AD^{2}=2BC^{2}$