《2025年诚成教育学业评价八年级数学下册人教版》

22. （6 分）如图，平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E，点 F 在 CD 上，CF = AE，连接 BF，AF.
（1）求证：四边形 BFDE 是矩形；
（2）若 AF 平分∠BAD，且 AE = 2，DE = 4，求矩形 BFDE 的面积.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB = CD,AB//CD.
∴DF//BE.
∵CF = AE,
∴DF = BE.
∴四边形BFDE是平行四边形.
∵DE⊥AB,
∴∠DEB = 90°.
∴四边形BFDE是矩形.
(2)解：
∵AB//CD,
=$\frac{1}{3}$.
平行四边形 自我评价
在Rt△ADE中，
∵AE = 2,DE = 4,
∴AD = $\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{2^{2}+4^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$.
∴DF = 2$\sqrt{5}$.
∴矩形BFDE的面积=DF·DE = 2$\sqrt{5}$×4 = 8$\sqrt{5}$.

23. （6 分）如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，连接 DE.
（1）求证 DA = DF；
（2）若∠ADE = ∠CDE = 30°，DE = 2$\sqrt{3}$，求□ABCD 的面积.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD.
∴∠BAF = ∠AFD.
∵AF平分∠BAD,
∴∠DAF = ∠BAF.
∴∠DAF = ∠AFD.
∴AD = DF.
(2)解：
∵∠ADE = ∠CDE = 30°,
∴∠ADF = 60°.
∵DA = DF,
∴△ADF为等边三角形.
∴DE⊥AF.
∴AD = 2AE.
在Rt△AED中，
由勾股定理,得AE²+DE²=AD².
即AE²+DE²=4AE².
∵DE = 2$\sqrt{3}$,
∴AE = 2.
∴S▱ABCD = 2S△ADE = AE·DE = 4$\sqrt{3}$.