《2025年中考连线课堂同步八年级数学下册人教版》

28.新理念 综合探究试题(10分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y = x + 2分别与x轴、y轴交于点A，B，直线y = 2x + b分别与x轴、y轴交于点C，D，直线AB，CD相交于点M，BD = 2AO.
(1)求b的值；
(2)点P在直线CD上，过点P作y轴的平行线交直线AB于点Q，把直线PQ向右平移2个单位长度得到直线P'Q'，直线P'Q'分别交直线CD，AB于点P'，Q'，设点P的横坐标为t，线段P'Q'的长为d，求d与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，点P'在点M的左侧时，当△PQP'是等腰三角形时，请直接写出t的值.

答案： 解:
(1)
∵直线y = x + 2分别与x轴、y轴交于点A,B,
　
　
∴A(-2,0),B(0,2).
　
　
∴OA = 2,OB = 2.
　
　
∴BD = 2AO = 4.
　
　
∴OD = 2.
　
　
∴D(0,-2).
　　　　把点D(0,-2)代入y = 2x + b中，解得b = - 2.
　
　
∴b的值为 - 2.
(2)
∵直线AB,CD相交于点M,
　
　
∴联立$\begin{cases}y = x + 2\\y = 2x - 2\end{cases}$
　　　　　解得$\begin{cases}x = 4\\y = 6\end{cases}$
　
　
∴M(4,6).
　
　
∵点P的横坐标为t，
　
　
∴点P'的横坐标为t + 2.
　
　
∴P'(t + 2,2t + 2),Q'(t + 2,t + 4).
　　　　当点P'在点M左侧时，P'Q' = t + 4 - (2t + 2)= - t + 2(t ＜ 2)；
　　　　当点P'在点M右侧时，P'Q' = 2t + 2 - (t + 4)= t - 2(t ＞ 2).
　
　
∴d = $\begin{cases}-t + 2, & t ＜ 2\\t - 2, & t ＞ 2\end{cases}$
(3)t的值为 - 4或4 - 2$\sqrt{5}$或$\frac{3}{2}$.