《2025年中考连线课堂同步八年级数学下册人教版》

24.(6分)已知$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，化简：$\sqrt{\frac{b}{a}} + \sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2}$.

答案： 0

25.(6分)已知$a = 3 + \sqrt{7}$，$b = 3 - \sqrt{7}$，求下列各式的值：
(1)$a^2b + ab^2$；
(2)$a^2 - b^2$；
(3)$a^2 - ab + b^2$.

答案： 解：
∵$a = 3+\sqrt{7}$，$b = 3-\sqrt{7}$，
∴$a + b = 6$，$a - b = 2\sqrt{7}$，
$ab = 3^{2}-(\sqrt{7})^{2}=2$.
(1)$a^{2}b + ab^{2}=ab(a + b)=2×6 = 12$.
(2) $a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$
$=6×2\sqrt{7}$
$=12\sqrt{7}$.
(3)$a^{2}-ab + b^{2}=(a + b)^{2}-3ab$
$=6^{2}-3×2$
$=30$.

26.新理念 阅读理解试题(8分)问题：已知$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$，求$2a^2 - 8a + 1$的值.
小明是这样分析与解答的：
$\because a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$，
$\therefore a - 2 = -\sqrt{3}$.
$\therefore (a - 2)^2 = 3$.
$\therefore a^2 - 4a + 4 = 3$.
$\therefore a^2 - 4a = -1$.
$\therefore 2a^2 - 8a + 1 = 2(a^2 - 4a) + 1 = 2×(-1) + 1 = -1$.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：$\frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}} =$______；
(2)若$a = \frac{1}{\sqrt{10} - 3}$，求$3a^2 - 18a + 5$的值.

答案： 解：
(1)45－2$\sqrt{506}$.
(2)
∵$a=\frac{1}{\sqrt{10}-3}$
$=\frac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}$
$=\sqrt{10}+3$，
∴$a - 3=\sqrt{10}$.
∴$(a - 3)^{2}=10$.
∴$a^{2}-6a + 9 = 10$.
∴$a^{2}-6a = 1$.
∴ $3a^{2}-18a + 5$
$=3(a^{2}-6a)+5$
$=3×1 + 5$
$=8$.