《2025年中考连线课堂同步八年级数学下册人教版》

10.如图是一块长、宽、高分别是6 cm，4 cm，3 cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和点A相对的顶点B处吃食物，那么它需爬行的最短路程是（ ）
A.(3 + 2$\sqrt{13}$) cm B.$\sqrt{97}$ cm C.$\sqrt{85}$ cm D.9 cm

答案： C

11.有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度DE = 0.5 m，将它往前推送2 m（水平距离BC = 2 m）时，秋千踏板离地的垂直高度BF = 1.5 m，秋千的绳索始终拉得很直.
（1）求绳索AD的长；
（2）直接写出将它往前推送1.5 m（水平距离BC = 1.5 m）时，秋千踏板离地的垂直高度BF.

答案： 解:
(1)由题意可知，
$CE = BF = 1.5$m，$BC = 2$m，
$\because DE = 0.5$m，
$\therefore CD = CE - DE$
$= 1.5 - 0.5$
$= 1$(m).
设$AD = AB = x$m，
则$AC = (x - 1)$m.
$\because BC \perp AE$，
$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$.
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得
$BC^{2} + AC^{2} = AB^{2}$，
即$2^{2} + (x - 1)^{2} = x^{2}$，
解得$x = 2.5$.
答:绳索$AD$的长是$2.5$m.
(2)在$Rt\triangle ABC$中，
由勾股定理得
$AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}}$
$= \sqrt{2.5^{2} - 1.5^{2}}$
$= 2$(m).
$\therefore CD = AD - AC$
$= 2.5 - 2$
$= 0.5$(m).
$\therefore BF = CE = CD + DE$
$= 0.5 + 0.5 = 1$(m).
答:秋千踏板离地的垂直高度$BF$为$1$m.

12.(2021·湖南岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”其意思为今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少（1丈 = 10尺，1尺 = 10寸）？如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为_______.

答案： $x^{2} + (x - 6.8)^{2} = 10^{2}$

13.新理念 探究性试题 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别是6 m，8 m.现在要将绿地扩成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.

答案：
解:在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 8$m，$BC = 6$m，由勾股定理，得$AB = 10$m.
扩充部分为$Rt\triangle ACD$，扩充成等腰三角形$ABD$，应分以下三种情况:
①如图①，当$AB = AD = 10$m时，
$\because AC \perp BD$，
$\therefore CD = BC = 6$m.
$\therefore \triangle ABD$的周长$= 10 + 10 + 2\times6 = 32$m；
②如图②，当$AB = BD = 10$m时，
$\because BC = 6$m，
$\therefore CD = 10 - 6 = 4$m.
$\therefore AD = \sqrt{AC^{2} + CD^{2}} = \sqrt{8^{2} + 4^{2}} = 4\sqrt{5}$m
$\therefore \triangle ABD$的周长$= 10 + 10 + 4\sqrt{5}$
$= (20 + 4\sqrt{5})$m；
③如图③，当$AB$为底时，
设$AD = BD = x$m，
则$CD = (x - 6)$m.由勾股定理，得
$AD^{2} = AC^{2} + CD^{2}$，
即$8^{2} + (x - 6)^{2} = x^{2}$.
解得$x = \frac{25}{3}$.
$\therefore \triangle ABD$的周长$= 10 + \frac{25}{3} \times2 = \frac{80}{3}$m
$\therefore$扩充后等腰三角形绿地的周长为$32$m或$(20 + 4\sqrt{5})$m或$\frac{80}{3}$m.