《2025年中考连线课堂同步八年级数学下册人教版》

27.新理念综合探究试题(10分)综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
　(1)操作判断
　　　操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平;
　　　操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平，连接PM,BM.
　　　根据以上操作，当点M在EF上时，写出图①中一个30°的角________(填一个即可);
　(2)迁移探究
　　　小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下.
　　　将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,连接BQ.
　　　①如图②,当点M在EF上时,∠MBQ=________°,∠CBQ=________°;
　　　②改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图③,判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由;
　(3)拓展应用
　　　在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当FQ=1cm时，直接写出AP 的长.
　　　　

答案： 解:
(1)∠ABP等.
(2)①15,15.
　　　　　②∠MBQ=∠CBQ.
　　　　　理由如下:
　
　
∵四边形ABCD是正方形，
　
　
∴AB=BC,∠A=∠C=90°.
　　　　　由轴对称性质，得BM=AB,
　　　　　∠BMP=∠A=90°,
　
　
∴∠BMQ=∠C=90°,
　　　　　BM=BC.
　　　　　又BQ=BQ,
　
　
∴Rt△MBQ≌Rt△CBQ.
　
　
∴∠MBQ=∠CBQ.
(3)$\frac{40}{11}$cm或$\frac{24}{13}$cm.