《2025年中考连线课堂同步八年级数学下册人教版》

12.新理念探究性试题 等腰三角形ABC的底边BC为8cm，腰长为5cm，一动点P在底边BC上从点B向点C以0.25cm/s的速度移动，设点P运动时间为t秒，则t为何值时，PA与腰垂直?

答案：
解:分两种情况:如图所示，作AD⊥BC，交BC于点D,
则$BD = CD=\frac{1}{2}BC = 4$cm.
$\therefore AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}} = 3$cm.
①如图①,当PA⊥AC时，
$AP^{2}=PD^{2}+AD^{2}=PC^{2}-AC^{2}$.
$\therefore PD^{2}+3^{2}=(PD + 4)^{2}-5^{2}$.
$\therefore PD = 2.25$cm,
$t=(4 - 2.25)\div0.25 = 7$；
②如图②,当PA⊥AB时,同理可得$PD = 2.25$cm.
$\therefore BP = 4 + 2.25 = 6.25$cm,
$t = 6.25\div0.25 = 25$.
$\therefore t$为7或25时，PA与腰垂直.

13.（2024·吉林）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中$AB = AB'$，$AB\perp B'C$于点C，$BC = 0.5$尺，$B'C = 2$尺.设AC的长度为x尺，可列方程为________.

答案： $x^{2}+2^{2}=(x + 0.5)^{2}$

14.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，$OA = 10$，$OC = 8$，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处.求D，E两点的坐标.

答案： 解:依题意可知，直线AD是四边形OAED的对称轴，
$\therefore$在Rt△ABE中，
$AE = AO = 10$，$AB = 8$.
$\therefore BE=\sqrt{AE^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$.
$\therefore CE = BC - BE$
$=OA - BE$
$=10 - 6 = 4$.
$\therefore E(4,8)$.
在Rt△DCE中，$DC^{2}+CE^{2}=DE^{2}$.
又$DE = OD$，
$\therefore(8 - OD)^{2}+4^{2}=OD^{2}$.
$\therefore OD = 5$.$\therefore D(0,5)$.