《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

1. 已知数列 $\{ a_{n}\}$ 的首项 $a_{1}=1$，且满足 $a_{n + 1}=\dfrac {1}{2}a_{n}+\dfrac {1}{2n}$，则此数列的第 $3$ 项是(C)

A.$1$
B.$\dfrac {1}{2}$
C.$\dfrac {3}{4}$
D.$\dfrac {5}{8}$

答案： 1.C $a_1=1$，$a_2=\frac{1}{2}a_1+\frac{1}{2}=1$，$a_3=\frac{1}{2}a_2+\frac{1}{2}×2=\frac{3}{4}$.

2. 已知数列 $\{ a_{n}\}$ 满足 $a_{n}=\dfrac {1}{a_{n - 1}}+1(n\geqslant 2,n\in \mathbf{N}^{*})$，若 $a_{4}=\dfrac {5}{3}$，则 $a_{1}$ 等于(A)

A.$1$
B.$\dfrac {3}{2}$
C.$2$
D.$\dfrac {8}{5}$

答案： 2.A $\because a_4=\frac{5}{3}$，$a_4=\frac{1}{a_3}+1$，$\therefore a_3=\frac{3}{2}$，
又$\because a_3=\frac{1}{a_2}+1$，$\therefore a_2=2$，
又$\because a_2=\frac{1}{a_1}+1$，$\therefore a_1=1$.

3. 下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是(B)


A.$a_{n + 1}=a_{n}+n$，$n\in \mathbf{N}^{*}$
B.$a_{n}=a_{n - 1}+n$，$n\in \mathbf{N}^{*}$，$n\geqslant 2$
C.$a_{n + 1}=a_{n}+(n + 1)$，$n\in \mathbf{N}^{*}$，$n\geqslant 2$
D.$a_{n}=a_{n - 1}+(n - 1)$，$n\in \mathbf{N}^{*}$，$n\geqslant 2$

答案： 3.B 结合图象易知，$a_1=1$，$a_2=3=a_1+2$，$a_3=6=a_2+3$，$a_4=10=a_3+4$，
$\therefore a_n=a_{n - 1}+n$，$n\in N^*$，$n\geq2$.

4. 在数列 $\{ a_{n}\}$ 中，$a_{1}=1$，$a_{2}=2$，$a_{n}+a_{n + 1}+a_{n + 2}=1$，$n\in \mathbf{N}^{*}$，则 $a_{2025}=$-2。

答案： 4.$-2$ $\because a_1=1$，$a_2=2$，$a_n+a_{n + 1}+a_{n + 2}=1$，
$\therefore a_3=1 - a_1 - a_2=1 - 1 - 2=-2$，
$a_4=1 - a_3 - a_2=1-(-2)-2=1$，
$a_5=1 - a_4 - a_3=1 - 1-(-2)=2$，
$·s$
依此类推，可得数列$\{a_n\}$是一个周期为$3$的周期
数列，
$\therefore a_{2025}=a_3=-2$.

【问题1】 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题：
(1)近5届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022；
(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，⋯；
(3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10.
以上数列有什么共同特征？

答案： 提示：对于
(1)，我们发现2010－2006=4，2014－2010=4，2018－2014=4，2022－2018=4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。对于
(2)有44－45=－1，43－44=－1，…对于
(3)，10－10=0，有同样的取值规律。