《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例1】 利用导数判断下列函数的单调性：
(1) $f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+2x - 5$；
(2) $f(x)=x-\frac{1}{x}-\ln x$；
(3) $f(x)=x - e^{x}(x ＞ 0)$.

答案： 解:
(1)因为f(x)=$\frac{1}{3}$x³−x²+2x−5,所以f'(x)=x²−2x+2=(x−1)²+1＞0,所以函数f(x)=$\frac{1}{3}$x³−x²+2x−5在R上单调递增.
(2)因为f(x)=x−$\frac{1}{x}$−lnx,x∈(0,+∞),所以f'(x)=1+$\frac{1}{x²}$−$\frac{1}{x}$=$\frac{x²−x+1}{x²}$=$\frac{(x - \frac{1}{2})² + \frac{3}{4}}{x²}$＞0,所以f(x)=x−$\frac{1}{x}$−lnx在(0,+∞)上单调递增.
(3)因为f(x)=x−e^x,x∈(0,+∞),所以f'(x)=1−e^x＜0,所以f(x)=x−e^x在(0,+∞)上单调递减.

【跟踪训练1】 证明：函数$f(x)=2x^{2}-\ln x$在区间$(\frac{1}{2},+\infty)$上单调递增，在区间$(0,\frac{1}{2})$上单调递减.

答案： 证明:函数的定义域为(0,+∞).
　f'(x)=4x−$\frac{1}{x}$=$\frac{4x²−1}{x}$=$\frac{(2x + 1)(2x - 1)}{x}$.
　当x∈($\frac{1}{2}$,+∞)时,2x + 1＞0,2x - 1＞0,x＞0,所以f'(x)＞0,
　所以f(x)在($\frac{1}{2}$,+∞)上单调递增;
　当x∈(0,$\frac{1}{2}$)时,2x + 1＞0,2x - 1＜0,x＞0,
　所以f'(x)＜0,
　所以f(x)在(0,$\frac{1}{2}$)上单调递减.

【例2】 (链接教材P87例3)求下列函数的单调区间：
(1) $f(x)=x^{3}-4x^{2}+4x - 1$；
(2) $f(x)=\frac{e^{x}}{x - 2}$.

答案： 解:
(1)函数f(x)的定义域为R,
　f'(x)=3x²−8x + 4.
　令3x²−8x + 4 = 0,
　解得x = $\frac{2}{3}$或x = 2.
　当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
| x | (−∞,$\frac{2}{3}$) | $\frac{2}{3}$ | ($\frac{2}{3}$,2) | 2 | (2,+∞) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | 单调递增 | f($\frac{2}{3}$) = $\frac{5}{27}$ | 单调递减 | f
(2) = -1 | 单调递增 |
所以函数f(x)的单调递增区间为(−∞,$\frac{2}{3}$)和(2,+∞),单调递减区间为($\frac{2}{3}$,2).
(2)函数f(x)的定义域为(−∞,2)∪(2,+∞).f'(x)=$\frac{e^x(x - 2) - e^x}{(x - 2)²}$=$\frac{e^x(x - 3)}{(x - 2)²}$.
　令f'(x)=0可得x = 3,当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表所示:
| x | (−∞,2) | (2,3) | 3 | (3,+∞) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| f'(x) | - | - | 0 | + |
| f(x) | 单调递减 | 单调递减 | f
(3) = e³ | 单调递增 |
所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞),单调递减区间为(−∞,2)和(2,3).