《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

1.(多选)下列选项正确的是 (BCD)

A.$y=\ln 2$，则$y^{\prime}=\frac{1}{2}$
B.$y=\frac{1}{x^{2}}$，则$y^{\prime}|_{x=3}=-\frac{2}{27}$
C.$y=2^{x}$，则$y^{\prime}=2^{x}\ln 2$
D.$y=\log_{2}x$，则$y^{\prime}=\frac{1}{x\ln 2}$

答案： 1.BCD 对于A，$y'=0$，故A错；对于B，$\because y'=-\frac{2}{x^3}$，$\therefore y'|_{x=3}=-\frac{2}{27}$，故B正确；显然C，D正确.

2. 质点沿直线运动的路程$s$与时间$t$的关系是$s=\sqrt[5]{t}$，则质点在$t=4$时的速度为 (B)

A.$\frac{1}{2 \sqrt[5]{2^{3}}}$
B.$\frac{1}{10 \sqrt[5]{2^{3}}}$
C.$\frac{2}{5}\sqrt[5]{2^{3}}$
D.$\frac{1}{10}\sqrt[5]{2^{3}}$

答案： 2.B $\because s'=\frac{1}{5}t^{-\frac{4}{5}}$，$\therefore$当$t=4$时，$s'=\frac{1}{5} · \frac{1}{\sqrt[5]{4^4}}$
$=\frac{1}{10\sqrt[5]{2^3}}$

3. 已知函数$f(x)=x^{\alpha} (\alpha \in \mathbf{Q}$，且$\alpha \neq 0)$，若$f^{\prime}(-1)=-4$，则$\alpha$的值等于 (A)

A.4
B.$-4$
C.5
D.$-5$

答案： 3.A $\because f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$，$f'(-1)=\alpha(-1)^{\alpha-1}=-4$，
$\therefore \alpha=4$.

4. 已知$y=kx$是曲线$y=\ln x$的一条切线，则$k=$$\frac{1}{e}$.

答案： 4.$\frac{1}{e}$ 设切点坐标为$(x_0,y_0)$，
由题意得$y'|_{x=x_0}=\frac{1}{x_0}=k$，
又$y_0=kx_0$，且$y_0=\ln x_0$，
从而可得$x_0=e$，$y_0=1$，
则$k=\frac{1}{e}$.

【问题1】 设 $f(x)=x^3,g(x)=x$，计算$[f(x)+g(x)]'$ 与 $[f(x)-g(x)]'$，它们与 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 有什么关系？

答案： 提示：设$y=f(x)+g(x)=x^{3}+x$，
$\Delta y=(x+\Delta x)^{3}+(x+\Delta x)-(x^{3}+x)$
$=3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}+\Delta x$，
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=3x^{2}+1+3x\Delta x+(\Delta x)^{2}$，
$y'=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=3x^{2}+1$，
而$f'(x)=3x^{2},g'(x)=1$，
所以$[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)$.
设$y=f(x)-g(x)=x^{3}-x$，
$\Delta y=(x+\Delta x)^{3}-(x+\Delta x)-(x^{3}-x)$
$=3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}-\Delta x$，
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=3x^{2}-1+3x\Delta x+(\Delta x)^{2}$，
$y'=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=3x^{2}-1$，
而$f'(x)=3x^{2},g'(x)=1$，
所以$[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)$.

两个函数和或差的导数:$[f(x)\pm g(x)]'=$$\underline{\quad f'(x)\pm g'(x)\quad}$.

答案： 1. $f'(x)\pm g'(x)$

【例1】（链接教材 P76 例3）求下列函数的导数：
(1)$y=x+\cos x - 2$；
(2)$y=2^x+\sqrt{x}$；
(3)$y=x^2 - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$.

答案： 解：
(1)$y'=(x)'+(\cos x)'-(2)'=1-\sin x$.
(2)$y'=(2^{x})'+(\sqrt{x})'=2^{x}\ln 2+\frac{1}{2\sqrt{x}}$
(3)$y=x^{2}-\sin x$，则$y'=(x^{2})'-(\sin x)'=2x-\cos x$.