《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例2】
(1) 在等比数列$\{ a_{n}\}$中：
① 已知$a_{3}+a_{6}=36,a_{4}+a_{7}=18,a_{n}=\frac{1}{2}$，求$n$；
② 已知$a_{5}=8,a_{7}=2,a_{n}＞0$，求$a_{n}$.
(2) 已知$\{ a_{n}\}$为等比数列.
① 若$\{ a_{n}\}$满足$a_{2}a_{4}=\frac{1}{2}$，求$a_{1}a_{3}^{2}a_{5}$；
② 若$a_{n}＞0,a_{5}a_{7}+2a_{6}a_{8}+a_{6}a_{10}=49$，求$a_{6}+a_{8}$；
③ 若$a_{n}＞0,a_{5}a_{6}=9$，求$\log_{3}a_{1}+\log_{3}a_{2}+·s+\log_{3}a_{10}$的值.
(3) 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为$216$，后三个数成等差数列，且它们的和为$12$，求这四个数.

答案： 解：
(1)设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为q.
①由$\begin{cases}a_{4}+a_{7}=q(a_{3}+a_{6})=18,\\a_{3}+a_{6}=36,\end{cases}$得$q=\frac{1}{2}，$
再由$a_{3}+a_{6}=a_{3}·(1+q^{3})=36$得$a_{3}=32，$
则$a_{n}=a_{3}· q^{n-3}=32×(\frac{1}{2})^{n-3}=(\frac{1}{2})^{n-8}=\frac{1}{2^{n-8}}，$
所以n-8=1，所以n=9.
②由$a_{5}=8,a_{7}=a_{5}· q^{2}=2，$得$q^{2}=\frac{1}{4}.$
因为$a_{n}＞0，$所以$q=\frac{1}{2}，$
所以$a_{n}=a_{5}· q^{n-5}=8×(\frac{1}{2})^{n-5}=(\frac{1}{2})^{n-8}.$
(2)①在等比数列$\{a_{n}\}$中，
$\because a_{2}a_{4}=\frac{1}{2}，$
$\therefore a_{3}^{2}=a_{1}a_{5}=a_{2}a_{4}=\frac{1}{2}，$
$\therefore a_{1}a_{3}^{2}a_{5}=\frac{1}{4}.$
②由等比中项，化简条件得
$a_{6}^{2}+2a_{6}a_{8}+a_{8}^{2}=49，$
即$(a_{6}+a_{8})^{2}=49，$
$\because a_{n}＞0，$
$\therefore a_{6}+a_{8}=7.$
③由等比数列的性质知$a_{5}a_{6}=a_{1}a_{10}=a_{2}a_{9}=a_{3}a_{8}=a_{4}a_{7}=9，$
$\therefore \log_{3}a_{1}+\log_{3}a_{2}+·s+\log_{3}a_{10}=\log_{3}(a_{1}a_{2}·s a_{10})=\log_{3}[(a_{1}a_{10})(a_{2}a_{9})(a_{3}a_{8})(a_{4}a_{7})(a_{5}a_{6})]$
$=\log_{3}9^{5}=10.$
(3)方法一 设前三个数分别为$\frac{a}{q},a,aq，$
则$\frac{a}{q}· a· aq=216，$
所以$a^{3}=216.$
所以a=6.
因此前三个数为$\frac{6}{q},6,6q.$
由题意知第4个数为12q-6.
所以6+6q+12q-6=12，
解得$q=\frac{2}{3}.$
故所求的四个数为9,6,4,2.
方法二 设后三个数为4-d,4,4+d，
则第一个数为$\frac{1}{4}(4-d)^{2}，$
由题意知$\frac{1}{4}(4-d)^{2}×(4-d)×4=216，$
解得4-d=6.
所以d=-2.
故所求得的四个数为9,6,4,2.

[跟踪训练2]
(1) 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1},a_{99}$是方程$x^{2}-10x + 16 = 0$的两个根，则$a_{50}$的值为 (C)
A. $10$
B. $16$
C. $\pm4$
D. $4$
(2) 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，若$a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}=\frac{15}{8}$，$a_{8}a_{9}=-\frac{9}{8}$，则$\frac{1}{a_{7}}+\frac{1}{a_{8}}+\frac{1}{a_{9}}+\frac{1}{a_{10}}=$$-\frac{5}{3}$.
(3) 有四个数成等比数列，将这四个数分别减去$1,1,4,13$成等差数列，则这四个数的和是45.

答案：
(1)C 依题意，得$a_{1}· a_{99}=16，$而$a_{1}· a_{99}=a_{50}^{2}，$所以$a_{50}=\pm4.$
$(2)-\frac{5}{3} $因为$\frac{1}{a_{7}}+\frac{1}{a_{10}}=\frac{a_{7}+a_{10}}{a_{7}a_{10}}=\frac{a_{8}+a_{9}}{a_{8}a_{9}}，$由等比数列的性质知$a_{7}a_{10}=a_{8}a_{9}，$所以$\frac{1}{a_{7}}+\frac{1}{a_{8}}+\frac{1}{a_{9}}+\frac{1}{a_{10}}=\frac{a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}}{a_{8}a_{9}}=\frac{15}{8}÷(-\frac{9}{8})=-\frac{5}{3}.$
(3)45 设这四个数分别为$a,aq,aq^{2},aq^{3}，$
则$a-1,aq-1,aq^{2}-4,aq^{3}-13$成等差数列.
即$\begin{cases}2(aq-1)=(a-1)+(aq^{2}-4),\\2(aq^{2}-4)=(aq-1)+(aq^{3}-13),\end{cases}$
整理得$\begin{cases}a(q-1)^{2}=3,\\aq(q-1)^{2}=6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=3,\\q=2.\end{cases}$
因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.