《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

1.等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 2，若 $a_2, a_4, a_8$ 成等比数列，则 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=$ (A)

A.$n(n+1)$
B.$n(n-1)$
C.$\frac{n(n+1)}{2}$
D.$\frac{n(n-1)}{2}$

答案： 1 A 由$a_2, a_4, a_8$成等比数列，得$a_4^2 = a_2 a_8$，
即$(a_1 + 6)^2 = (a_1 + 2)(a_1 + 14)$，
所以$a_1 = 2$。
所以$S_n = 2n + \frac{n(n - 1)}{2} × 2 = 2n + n^2 - n = n(n + 1)$。

2.(多选)已知等差数列 $a, b, c$ 三项之和为 12，且 $a, b, c+2$ 成等比数列，则 $a$ 等于 (BD)

A.$-2$
B.2
C.$-8$
D.8

答案： 2 BD 由已知得$\begin{cases} a + c = 2b, \\ a + b + c = 12, \\ a(c + 2) = b^2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 2, \\ b = 4, \\ c = 6 \end{cases}$或$\begin{cases} a = 8, \\ b = 4, \\ c = 0. \end{cases}$
故$a = 2$或$a = 8$。

3.已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是 (A)

A.$\left\{2^{a_n}\right\}$
B.$\left\{\lg a_n\right\}$
C.$\left\{a_n^2\right\}$
D.$\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$

答案： 3 A 设$\{a_n\}$的公差是$d$，即$a_{n + 1} - a_n = d$，
显然$2^{a_n} \neq 0$且$\frac{2^{a_{n + 1}}}{2^{a_n}} = 2^{a_{n + 1} - a_n} = 2^d$是常数，$\{2^{a_n}\}$是等比数列；若$a_n = 1$，则$\lg a_n = 0$，$\{\lg a_n\}$不是等比数列；只要$d \neq 0$，$\{a_n^2\}, \ \{\frac{1}{a_n}\}$都不可能是等比数列，如$a_n = n, a_n^2 = n^2$，$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{n}$。

4.已知 $x＞0, y＞0$，若 $x, a, b, y$ 成等比数列，$x, c, d, y$ 成等差数列，则 $\frac{(c+d)^2}{a b}$ 的最小值
为4.

答案： 4 由题意知$ab = xy, c + d = x + y$，
所以$\frac{(c + d)^2}{ab} = \frac{(x + y)^2}{xy} = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 \geq 2\sqrt{\frac{x}{y} × \frac{y}{x}} + 2 = 4$，
当且仅当$x = y$时等号成立。

【例1】 已知数列$\{ a_n \}$满足$a_n=2a_{n-1}+2^{n+1}$($n\geq2$)，且$a_1=1$,求数列$\{ a_n \}$的通项公式.

答案： 解：等式两边同时除以$2^n$，得$\frac{a_n}{2^n}=\frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}+$2，即$\frac{a_n}{2^n}-\frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}=2$，又$\frac{a_1}{2}=\frac{1}{2}$，所以$\left\{\frac{a_n}{2^n}\right\}$是以$\frac{1}{2}$为首项，以$2$为公差的等差数列，所以$\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}+(n-1)× 2=2n-\frac{3}{2}$，即$a_n=(2n-\frac{3}{2})× 2^n$.

【跟踪训练 1】 已知数列$\{ a_n \}$满足$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2a_{n-1}}+\frac{1}{2^n}$，且$a_1=1$,求数列$\{ a_n \}$的通项公式.

答案： 解：由题意，等式两边同乘$2^n$，得$\frac{2^n}{a_n}=\frac{2^{n-1}}{a_{n-1}}+1$，即$\frac{2^n}{a_n}-\frac{2^{n-1}}{a_{n-1}}=1$，所以$\left\{\frac{2^n}{a_n}\right\}$是以$2$为首项，$1$为公差的等差数列，所以$\frac{2^n}{a_n}=2+(n-1)×1=n+1$，即$a_n=\frac{2^n}{n+1}$.