《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题 1】 在高台跳水中，运动员相对于水面的高度 $h$ 与起跳后的时间存在函数关系$h(t) = -4.9t^2 + 6.5t + 10$，根据上述探究，你能求该运动员在 $0\leq t \leq 0.5$，$1\leq t \leq 2$，$0\leq t \leq \frac{65}{49}$ 内的平均速度吗?

答案： 提示：0≤t≤0.5时，$\bar{v}=\frac{h(0.5)-h(0)}{0.5-0}=4.05(m/s)$；1≤t≤2时，$\bar{v}=\frac{h(2)-h(1)}{2-1}=-8.2(m/s)$；0≤t≤$\frac{65}{49}$时，$\bar{v}=\frac{h(\frac{65}{49})-h(0)}{\frac{65}{49}-0}=0(m/s)$.

【例 1】 某物体运动的位移 $s$ 与时间 $t$ 之间的函数关系式为 $s(t) = \sin t$，$t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.
(1)分别求 $s(t)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 和 $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的平均速度；
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义.

答案：
解：
(1)物体在区间$[0,\frac{\pi}{4}]$上的平均速度为$\bar{v_1}=\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{s(\frac{\pi}{4})-s(0)}{\frac{\pi}{4}-0}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-0}{\frac{\pi}{4}}=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$.
物体在区间$[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$上的平均速度为$\bar{v_2}=\frac{s(\frac{\pi}{2})-s(\frac{\pi}{4})}{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\pi}{4}}=\frac{4-2\sqrt{2}}{\pi}$.
(2)由
(1)可知$\bar{v_1}-\bar{v_2}=\frac{4\sqrt{2}-4}{\pi}＞0$，所以$\bar{v_2}＜\bar{v_1}$.作出函数$s(t)=\sin t$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上的图象，如图所示，可以发现，$s(t)=\sin t$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上随着$t$的增大，函数值$s(t)$增长得越来越慢.