《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例2】 已知在数列$\{ a_{n}\} $中,$a_{1}=1,2a_{n+1}-a_{n}$$=\frac {n-2}{n(n+1)(n+2)}.$
（1）若$b_{n}=a_{n}-\frac {1}{n(n+1)}$,求证:数列$\{ b_{n}\} $是等比数列；
（2）求数列$\{ a_{n}\} $的通项公式.

答案：
(1)证明：$\frac{b_{n + 1}}{b_n}=\frac{a_{n + 1}-\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}}{a_n-\frac{1}{n(n + 1)}}$
$=\frac{a_n+\frac{n - 2}{2n(n + 1)(n + 2)}-\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}}{a_n-\frac{1}{n(n + 1)}}$
$=\frac{a_n-\frac{1}{2n(n + 1)}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}.$
∴数列\{b_n\}是首项为$\frac{1}{2}，$公比为$\frac{1}{2}$的等比数列.
(2)解：由
(1)知$b_n=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2})^{n - 1}=\frac{1}{2^n}.$
又
∵$b_n=a_n-\frac{1}{n(n + 1)}，$
∴$a_n=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{n(n + 1)}.$

[跟踪训练2] 已知数列$\{ a_{n}\} $满足$a_{1}=\frac {1}{5}$,且当$n＞1,n∈N^{*}$时,有$\frac {a_{n-1}}{a_{n}}=\frac {2a_{n-1}+1}{1-2a_{n}}.$
（1）求证:数列$\{ \frac {1}{a_{n}}\} $为等差数列；
（2）试问$a_{1}a_{2}$是否是数列$\{ a_{n}\} $中的项？如果是,是第几项？如果不是,请说明理由.

答案：
(1)证明：当n≥2时，
由$\frac{a_{n - 1}}{a_n}=\frac{2a_{n - 1}+1}{1 - 2a_n}，$得$a_{n - 1}-a_n = 4a_{n - 1}a_n，$
两边同除以$a_{n - 1}a_n，$
得$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n - 1}} = 4.$
所以数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是首项为$\frac{1}{a_1}=5，$公差为d = 4的等差数列.
(2)解：由
(1)得$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_1}+(n - 1)d = 4n + 1，$
所以$a_n=\frac{1}{4n + 1}，$
所以$a_1a_2=\frac{1}{5}×\frac{1}{9}=\frac{1}{45}，$
假设$a_1a_2$是数列\{a_n\}中的第t项，
则$a_t=\frac{1}{4t + 1}=\frac{1}{45}，$
解得t = 11∈N^*，
所以$a_1a_2$是数列\{a_n\}中的第11项.