《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例4】螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图(1)所示.如图(2)所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的:正方形ABCD的边长为$4$，取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H，作第$2$个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M,N,P,Q，作第$3$个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.如图(2)阴影部分，设直角三角形AEH的面积为$b_{1}$，直角三角形EMQ的面积为$b_{2}$，后续各直角三角形的面积依次为$b_{3},·s,b_{n}$，则数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$S_{n} =$4-4×(5/8)^n.

答案： $4-4×\left(\frac{5}{8}\right)^n$ 由题意，由外到内依次各
正方形的边长分别为$a_1$，$a_2$，$a_3$，$·s$，$a_n$，
则$a_1=4$，$a_2=\sqrt{\left(\frac{1}{4}a_1\right)^2+\left(\frac{3}{4}a_1\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}{4}a_1$，
$a_3=\sqrt{\left(\frac{1}{4}a_2\right)^2+\left(\frac{3}{4}a_2\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}{4}a_2=\left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right)^2a_1$，
……
$a_n=\sqrt{\left(\frac{1}{4}a_{n-1}\right)^2+\left(\frac{3}{4}a_{n-1}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}{4}a_{n-1}\Rightarrow\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，
于是数列$\{a_n\}$是以$4$为首项，$\frac{\sqrt{10}}{4}$为公比的等比数列，
则$a_n=4×\left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right)^{n-1}$.
由题意可得，$S_{\triangle AHE}=\frac{S_{正方形ABCD}-S_{正方形EFGH}}{4}$
即$b_1=\frac{a_1^2-a_2^2}{4}$，$b_2=\frac{a_2^2-a_3^2}{4}$，$·s$，$b_n=\frac{a_n^2-a_{n+1}^2}{4}$
$16\left[\left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right)^{2n-2}-16\left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right)^{2n}\right]$
于是$b_n=\frac{3}{2}×\left(\frac{5}{8}\right)^{n-1}$，所以$\{b_n\}$是以$\frac{3}{2}$为首项，$\frac{5}{8}$为公
比的等比数列，
$S_n=\frac{\frac{3}{2}×\left[1-\left(\frac{5}{8}\right)^n\right]}{1-\frac{5}{8}}=4-4×\left(\frac{5}{8}\right)^n$.

【跟踪训练3】如图，画一个边长为$2$的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第$2$个正方形，以此类推，记第$n$个正方形的面积为$a_{n}$，数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则$S_{2025} =$$8-1/2^{2022}$.

答案： $8-\frac{1}{2^{2022}}$ 记第$n$个正方形的边长为
$b_n$，
由题意可知$b_n^2=\frac{1}{2}b_{n-1}^2-1$，则$a_n=\frac{1}{2}a_{n-1}-1$，
所以数列$\{a_n\}$是以$a_1=4$为首项，以$q=\frac{1}{2}$为公
比的等比数列，
$4×\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2025}\right]$
$S_{2025}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=8×\left(1-\frac{1}{2^{2025}}\right)=8$
$\frac{1}{2^{2022}}$.

1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为$1011$，偶数项之和为$2022$，则这个数列的公比为 (D)

A.$8$
B.$- 2$
C.$4$
D.$2$

答案： 1.$D$ 由$\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=q$，可知$q=2$.

2.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿$5$斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?此问题中$1$斗为$10$升，
则牛主人应偿还多少升粟? (D)

A.$\frac{50}{3}$
B.$\frac{50}{7}$
C.$\frac{100}{7}$
D.$\frac{200}{7}$

答案： 2.$D$ $5$斗$=50$升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的
量分别为$a_1$，$a_2$，$a_3$，
由题意可知$a_1$，$a_2$，$a_3$构成公比为$2$的等比数
列，且$S_3=50$，则$\frac{a_1(1-2^3)}{1-2}=50$，
解得$a_1=\frac{50}{7}$，
所以牛主人应偿还粟的量为$a_3=2^2a_1=\frac{200}{7}$.

3.已知$S_{n}$为等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，$S_{4} = 10,S_{12} = 70$，则$S_{8}$等于 (A)

A.$30$
B.$- 20$
C.$- 30$
D.$30$或$- 20$

答案： 3.$A$ 由$\{a_n\}$是等比数列，且$S_4=10$，$S_{12}=70$，知
$\{a_n\}$的公比$q\neq-1$，
所以$S_4$，$S_8-S_4$，$S_{12}-S_8$构成等比数列，
所以$(S_8-S_4)^2=S_4(S_{12}-S_8)$，
即$(S_8-10)^2=10(70-S_8)$，
化简并整理得$S_8^2-10S_8-600=0$，
又$S_8=S_4+q^4S_4＞0$，
解得$S_8=30$或$S_8=-20$（舍去）.

4.等比数列$\{ a_{n}\}$共有$2n$项，其和为$240$，且奇数项的和比偶数项的和大$80$，则公比$q =$1/2.

答案： 4.$\frac{1}{2}$ 设等比数列$\{a_n\}$的奇数项的和、偶数项的和
分别为$S_{奇}$、$S_{偶}$.
由题意可得$\begin{cases} S_{奇}+S_{偶}=240,\\ S_{奇}-S_{偶}=80.\end{cases}$解得$\begin{cases} S_{奇}=160,\\ S_{偶}=80.\end{cases}$
所以公比$q=\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=\frac{1}{2}$.