《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例 2】 已知数列$\{ a_n \}$满足$a_{n+1}=2a_n+2$且$a_1=1$，则

A.$\{ a_n \}$是等差数列
B.$\{ a_n \}$是等比数列
C.$\{ a_n+1 \}$是等比数列
D.$\{ a_n+2 \}$是等比数列

答案： D 由$a_{n+1}=2a_n+2$，
可得$a_{n+1}+2=2(a_n+2)$，
所以$\frac{a_{n+1}+2}{a_n+2}=2$，
又由$a_1=1$，得$a_1+2=3$，
所以$\{a_n+2\}$是首项为$3$，公比为$2$的等比数列，
所以$a_n+2=3×2^{n-1},a_n=3×2^{n-1}-2$，
$a_{n+1}-a_n=3×2^n-2-(3×2^{n-1}-2)=3×2^{n-1}$，
所以$\{a_n\}$不是等差数列；
$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3×2^n-2}{3×2^{n-1}-2}$不等于常数，
所以$\{a_n\}$不是等比数列.

【跟踪训练 2】 已知数列$\{ a_n \}$满足$a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1$，求$\{ a_n \}$的通项公式.
■ 提升三 形如$a_{n+1}=pa_n+q^{n+1}$的递推关系求通项公式

答案： 解：$\because a_{n+1}=2a_n+1$，令$a_{n+1}+t=2(a_n+t)$，
即$a_{n+1}=2a_n+t,\therefore t=1$，
即$a_{n+1}+1=2(a_n+1),\therefore$数列$\{a_n+1\}$是以$2$为首项，$2$为公比的等比数列.
$\therefore a_n+1=2×2^{n-1}=2^n,\therefore a_n=2^n-1$.

【例 3】 已知数列$\{ a_n \}$中，$a_1=6,a_{n+1}=2a_n+3^{n+1}$,求$a_n$.

答案： 解：令$a_{n+1}-A·3^{n+1}=2(a_n-A·3^n)$，
则$a_{n+1}=2a_n+\frac{A}{3}·3^{n+1}$，
由已知，$\frac{A}{3}=1$，得$A=3$，
所以$a_{n+1}-3×3^{n+1}=2(a_n-3^{n+1})$，即$a_{n+1}-3^{n+2}=2(a_n-3^{n+1})$，
又$a_1-3^2=6-9=-3\neq0$，
所以$\{a_n-3^{n+1}\}$是首项为$-3$，公比为$2$的等比数列，
于是$a_n-3^{n+1}=-3×2^{n-1}$，
故$a_n=3^{n+1}-3×2^{n-1}$.

【跟踪训练 3】 (1)已知数列$\{ a_n \}$的首项为$a_1=1$，且满足$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2^n}$，则此数列的通项公式$a_n=$
A.$2n$
B.$n(n+1)$
C.$\frac{n}{2^{n-1}}$
D.$\frac{n(n+1)}{2^n}$
(2)已知数列$\{ a_n \}$满足$a_{n+1}=3a_n+2^{n+1}$且$a_1=1$,求数列$\{ a_n \}$的通项公式.

答案：
(1)C $\because a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2^n}$，
$\therefore2^{n+1}a_{n+1}=2^n a_n+2$，
即$2^{n+1}a_{n+1}-2^n a_n=2$.
又$2^1a_1=2$，
$\therefore$数列$\{2^n a_n\}$是以$2$为首项，$2$为公差的等差数列，
$\therefore2^n a_n=2+(n-1)×2=2n$，
$\therefore a_n=\frac{n}{2^{n-1}}$.
(2)解：令$a_{n+1}+A·2^{n+1}=3(a_n+A·2^n)$，
即$a_{n+1}=3a_n+A·2^n$，故$A=2$，
所以$a_{n+1}+2^{n+2}=3(a_n+2^{n+1})$，又$a_1+2^2=5\neq0$，
所以$\{a_n+2^{n+1}\}$是以$5$为首项，$3$为公比的等比数列，
所以$a_n+2^{n+1}=5×3^{n-1}$，即$a_n=5×3^{n-1}-2^{n+1}$.