《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题1】类比等差数列前$n$项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质?

答案： 【问题1】 提示：若等比数列$\{a_n\}$的项数有$2n$项，则
其偶数项和为$S_{偶}=a_2+a_4+·s+a_{2n}$，
其奇数项和为$S_{奇}=a_1+a_3+·s+a_{2n-1}$，容易发
现两列式子中对应项之间存在联系，即$S_{偶}=a_1q+a_3q+·s+a_{2n-1}q=qS_{奇}$，所以$\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=q$.
若等比数列$\{a_n\}$的项数有$2n+1$项，则其偶数项
和为$S_{偶}=a_2+a_4+·s+a_{2n}$，其奇数项和为$S_{奇}=a_1+a_3+·s+a_{2n-1}+a_{2n+1}$，从项数上来看，
奇数项比偶数项多了一项，于是我们有$S_{奇}-a_1=a_3+·s+a_{2n-1}+a_{2n+1}=a_2q+a_4q+·s+a_{2n}q=qS_{偶}$，即$S_{奇}=a_1+qS_{偶}$.

【问题2】你能否用等比数列$\{ a_{n}\}$中的$S_{m},S_{n}$来表示$S_{m + n}$?

答案： 【问题2】 提示：思路一：$S_{m+n}=a_1+a_2+·s+a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+·s+a_{m+n}=S_m+a_1q^m+a_2q^m+·s+a_nq^m=S_m+q^mS_n$.
思路二：$S_{m+n}=a_1+a_2+·s+a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+·s+a_{n+m}=S_n+a_1q^n+a_2q^n+·s+a_mq^n=S_n+q^nS_m$.

【问题3】类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现$S_{n},S_{2n} - S_{n},S_{3n} - S_{2n},·s$(n为偶数且$q = - 1$除外)的关系吗?

答案： 【问题3】 提示：$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$，$·s$仍成等
比数列，证明如下：
思路一：当$q=1$时，结论显然成立；
当$q\neq1$时，$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，$S_{2n}=\frac{a_1(1-q^{2n})}{1-q}$，
$S_{3n}=\frac{a_1(1-q^{3n})}{1-q}$，
$S_{2n}-S_n=\frac{a_1(1-q^{2n})}{1-q}-\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1q^n(1-q^n)}{1-q}$，
$S_{3n}-S_{2n}=\frac{a_1(1-q^{3n})}{1-q}-\frac{a_1(1-q^{2n})}{1-q}=\frac{a_1q^{2n}(1-q^n)}{1-q}$，
而$(S_{2n}-S_n)^2=\left[\frac{a_1q^n(1-q^n)}{1-q}\right]^2$，$S_n(S_{3n}-S_{2n})=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}×\frac{a_1q^{2n}(1-q^n)}{1-q}$，
故有$(S_{2n}-S_n)^2=S_n(S_{3n}-S_{2n})$，
所以$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$成等比数列.
思路二：由性质$S_{m+n}=S_m+q^mS_n$可知$S_{2n}=S_n+q^nS_n$，故有$S_{2n}-S_n=q^nS_n$，
$S_{3n}=S_{2n}+q^{2n}S_n$，故有$S_{3n}-S_{2n}=q^{2n}S_n$，故有
$(S_{2n}-S_n)^2=S_n(S_{3n}-S_{2n})$，
所以$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$成等比数列.

2.若$\{ a_{n}\}$是公比为$q$的等比数列，则$S_{n + m} = S_{n} +$q^nS_m$\underline{\text { }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}(n,m \in N^{*}).$

答案： 2.$q^nS_m$

3.数列$\{ a_{n}\}$为公比不为$- 1$的等比数列(或公比为$- 1$，且$n$不是偶数)，$S_{n}$为其前$n$项和，则$S_{n},S_{2n} - S_{n},\underline{\text$$S_{3n}-S_{2n}$${ }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}$仍构成等比数列.

答案： 3.$S_{3n}-S_{2n}$

【例1】(1)已知等比数列$\{ a_{n}\}$的公比$q = \frac{1}{3}$，且$a_{1} + a_{3} + a_{5} + ·s + a_{99} = 90$,则$a_{1} + a_{2} + a_{3} + ·s + a_{100} = \underline{\text { }\text { }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}\underline{\text { }}$.
(2)若等比数列$\{ a_{n}\}$共有奇数项，其首项为$1$，其偶数项和为$170$，奇数项和为$341$，则这个数列的公比为2，项数为9.

答案：
(1)$120$ 因为在等比数列中，若项数为
$2n$，则$\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=q$，
所以$a_1+a_2+a_3+·s+a_{100}=(a_1+a_3+a_5+·s+a_{99})+(a_2+a_4+a_6+·s+a_{100})=(a_1+a_3+a_5+·s+a_{99})+\frac{1}{3}(a_1+a_3+a_5+·s+a_{99})=90+\frac{1}{3}×90=120$.
(2)$2\ 9$ 由性质$S_{奇}=a_1+qS_{偶}$可知$341=1+170q$，所以$q=2$，设这个数列共有$2n+1$项，则
$S_{2n+1}=\frac{1-2^{2n+1}}{1-2}=341+170=511$，解得$n=4$，
即这个等比数列的项数为$9$.

【例2】在等比数列$\{ a_{n}\}$中，已知$S_{n} = 48,S_{2n} = 60$,求$S_{3n}$.

答案： 解：方法一 $\because S_{2n}\neq2S_n$，$\therefore q\neq1$，
由已知得$\begin{cases} \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=48,\\ \frac{a_1(1-q^{2n})}{1-q}=60.\end{cases}$
②$÷$①得$1+q^n=\frac{5}{4}$，
即$q^n=\frac{1}{4}$，
将③代入①得$\frac{a_1}{1-q}=64$，
$\therefore S_{3n}=\frac{a_1(1-q^{3n})}{1-q}=64×\left(1-\frac{1}{4^3}\right)=63$.
方法二 $\because\{a_n\}$为等比数列，显然公比不等于$-1$，
$\therefore S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$也成等比数列，
$\therefore(S_{2n}-S_n)^2=S_n(S_{3n}-S_{2n})$，
$\therefore S_{3n}=\frac{(S_{2n}-S_n)^2}{S_n}+S_{2n}=\frac{(60-48)^2}{48}+60=63$.
方法三 由性质$S_{m+n}=S_m+q^mS_n$可知$S_{2n}=S_n+q^nS_n$，即$60=48+48q^n$，得$q^n=\frac{1}{4}$，
$\therefore S_{3n}=S_{2n}+q^{2n}S_n=60+48×\left(\frac{1}{4}\right)^2=63$.