《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例3】 已知函数$f(x)=x^2 - \frac{1}{2}x$. 求:
(1)$f^{\prime}(x)$;
(2)$f(x)$在$x = 1$处的导数.

答案： 解:
(1)
∵$\Delta y$=f(x+$\Delta x$)−f(x)
　=($\Delta x$)²+2x$\Delta x$−$\frac{1}{2}$$\Delta x$,
∴$\frac{\Delta y}{\Delta x}$=2x+$\Delta x$−$\frac{1}{2}$.
∴f'(x)=lim$_{\Delta x \to 0}$$\frac{\Delta y}{\Delta x}$=2x−$\frac{1}{2}$.
(2)f'
(1)=2×1−$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$.

【跟踪训练3】 已知$f(x)=\frac{1}{x}$，试通过导函数比较$f^{\prime}(-1)$与$f^{\prime}(3)$的大小关系.

答案： 解:f'(x)=lim$_{\Delta x \to 0}$$\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}$
　=lim$_{\Delta x \to 0}$$\frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)\Delta x}$=lim$_{\Delta x \to 0}$[−$\frac{1}{x(x+\Delta x)}$]=−$\frac{1}{x²}$,f'(-1)=−1,f'
(3)=−$\frac{1}{9}$,
∴f'(-1)＜f'
(3).

1. 设$f^{\prime}(x_0)=0$，则曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线 (B)

A.不存在
B.与$x$轴平行或重合
C.与$x$轴垂直
D.与$x$轴斜交

答案： 1.B　因为f'(x₀)=0,所以曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处的切线斜率为0.

2. 已知函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上可导，其部分图象如图所示，设$\frac{f(2)-f(1)}{2 - 1}=a$，则下列不等式正确的是 (B)


A.$f^{\prime}(1)＜f^{\prime}(2)＜a$
B.$f^{\prime}(1)＜a＜f^{\prime}(2)$
C.$f^{\prime}(2)＜f^{\prime}(1)＜a$
D.$a＜f^{\prime}(1)＜f^{\prime}(2)$

答案： 2.B　由图象可知,函数在区间(0,+∞)上的增长越来越快,
∴f'
(1)＜f'
(2),
∵$\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$=a,
∴通过作切线与割线可得f'
(1)＜a＜f'
(2),故选B.

3. 若曲线$f(x)=x^2$的一条切线$l$与直线$x + 4y - 8 = 0$垂直，则$l$的方程为 (A)

A.$4x - y - 4 = 0$
B.$x + 4y - 5 = 0$
C.$4x - y + 3 = 0$
D.$x + 4y + 3 = 0$

答案： 3.A　设切点为(x₀,y₀)，
　因为f'(x)=lim$_{\Delta x \to 0}$$\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}$=lim$_{\Delta x \to 0}$(2x+$\Delta x$)
　=2x.
　由题意可知，切线斜率k=4,
　即f'(x₀)=2x₀=4,所以x₀=2.
　所以切点坐标为(2,4),切线方程为y−4=4(x −2),
　即4x−y−4=0.

4. 已知曲线$y = 2x^2 + 4x$在点$P$处的切线斜率为$16$，则$P$点坐标为(3,30).

答案： 4.(3,30)　令f(x)=2x²+4x,
　设点P(x₀,2x₀²+4x₀),
　则f'(x₀)=lim$_{\Delta x \to 0}$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
　=lim$_{\Delta x \to 0}$$\frac{2(\Delta x)^2+4x_0·\Delta x+4\Delta x}{\Delta x}$=4x₀+4,
　令4x₀+4=16,得x₀=3,
∴P(3,30).