《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【跟踪训练 1】 某质点的运动方程为 $s(t) = 1 - t^2$，则该物体在 $[1, 2]$ 内的平均速度为 (D)

A.2
B.3
C.-2
D.-3

答案： D $\bar{v}=\frac{(1-2^2)-(1-1^2)}{2-1}=-3$.

【问题 2】 我们发现高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我们应该如何改进高速路上的区间测速问题?

答案： 提示：由$\bar{v}=\frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}$可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程，这样似乎都不可避免违法行为的产生，于是，我们有了一个大胆的想法，如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了.我们把函数值的增量$f(t_2)-f(t_1)$记为$\Delta y$，即$\Delta y=f(t_2)-f(t_1)$，自变量的增量$t_2-t_1$记为$\Delta t$，即$\Delta t=t_2-t_1$，这里的$\Delta t$可以看成是$t_1$的一个增量，可用$t_1+\Delta t$来表示$t_2$，则平均变化率可记为$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{f(t_1+\Delta t)-f(t_1)}{\Delta t}$，我们发现如果时间的增量$\Delta t$无限小，此时在极短的时间内的平均速度就可近似等于在时间$t=t_1$的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让$\Delta t$无限趋近于0.

1. 瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

答案： 1.某一时刻

【例 2】 (链接教材 P61T1)某物体的运动路程 $s$(单位：m)与时间 $t$(单位：s)的关系可用函数 $s(t) = t^2 + t + 1$ 表示，求物体在哪一时刻的瞬时速度为 9 m/s?

答案： 解：设物体在$t_0$时刻的瞬时速度为9m/s.又$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}=(2t_0+1)+\Delta t$.
$\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}(2t_0+1+\Delta t)=2t_0+1$.
则$2t_0+1=9$，$\therefore t_0=4$.
则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.