《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例4】 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，满足$S_{2}=2$，$S_{4}=16$，$\{ a_{n}+1\}$是等比数列.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)若$a_{n}＞0$，设$b_{n}=\log_{2}(3a_{n}+3)$，求数列$\{\frac{1}{b_{n}b_{n + 1}}\}$的前$n$项和.

答案： 解：
(1)设等比数列$\{a_{n}+1\}$的公比为$q$，其前$n$项和为$T_{n}$，因为$S_{2}=2$，$S_{4}=16$，所以$T_{2}=4$，$T_{4}=20$，易知$q \neq 1$，所以$T_{2}=\frac{(a_{1}+1)(1-q^{2})}{1-q}=4$，①$T_{4}=\frac{(a_{1}+1)(1-q^{4})}{1-q}=20$，②由②$÷$①得$1+q^{2}=5$，解得$q= \pm 2$。当$q=2$时，$a_{1}=\frac{1}{3}$，所以$a_{n}+1=\frac{4}{3} × 2^{n-1}$$=\frac{2^{n+1}}{3}$；当$q=-2$时，$a_{1}=-5$，所以$a_{n}+1=(-4) × (-2)^{n-1}$$=-(-2)^{n+1}$。所以$a_{n}=\frac{2^{n+1}}{3}-1$或$a_{n}=-(-2)^{n+1}-1$。
(2)因为$a_{n}＞0$，所以$a_{n}=\frac{2^{n+1}}{3}-1$，所以$b_{n}=\log_{2}(3a_{n}+3)=n+1$，所以$\frac{1}{b_{n}b_{n+1}}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，所以数列$\{\frac{1}{b_{n}b_{n+1}}\}$的前$n$项和为$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+·s+(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$$=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2(n+2)}$。