《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题3】 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？

答案： 提示：设等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，
由等差数列的定义可知，$a_n - a_{n - 1} = d(n \in N^*$且$n \geq 2)$，
思路一：$a_n = a_{n - 1} + d$，故$a_2 = a_1 + d$，$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$，$a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$，$·s$
归纳可得，$a_n = a_1 + (n - 1)d(n \in N^*$且$n \geq 2)$.

【问题4】 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？

答案： 提示：由于$a_n = a_1 + (n - 1)d = dn + (a_1 - d)$，故$a_n$是函数$f(x) = dx + (a_1 - d)$当$x = n$时的函数值，即$a_n = f(n)$，点$(n$，$a_n)$则是函数$f(x) = dx + (a_1 - d)$图象上的均匀分布的孤立的点，而$d$是直线$f(x) = dx + (a_1 - d)$的斜率，记为$d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}(n \geq 2)$，实际上，如果已知直线上任意两点$(n$，$a_n)$，$(m$，$a_m)$，由斜率的公式可知$d = \frac{a_n - a_m}{n - m}$，公差$d$的符号决定了数列的单调性，$d ＞ 0$时，数列$\{a_n\}$为递增数列，$d = 0$时，数列$\{a_n\}$为常数列，$d ＜ 0$时，数列$\{a_n\}$为递减数列.

1. 首项为$a_1$，公差为$d$的等差数列$\{ a_n\}$的通项公式为$a_n$$a_1 + (n - 1)d$$=\underline{a_1 + (n - 1)d}$.

答案： $a_1 + (n - 1)d$

2. 若数列$\{ a_n\}$是等差数列，首项为$a_1$，公差为$d$，则$a_n = f(n) = a_1 + (n - 1)d = nd + (a_1 - d)$.
(1)点$(n,a_n)$落在直线$y = dx + (a_1 - d)$，这条直线的斜率为$\underline{d}$，在$y$轴上的截距为$\underline{a_1 - d}$.
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加$\underline{d}$.$d$
【注意】
(1)已知首项$a_1$和公差$d$，便可写出通项公式.
(2)等差数列的通项公式是$a_n,a_1,d,n$四个变量之间的关系，知三求一.

答案： 2.
(1)$d$ $a_1 - d$
(2)$d$

【例3】 在等差数列$\{ a_n\}$中，
(1)已知$a_5 = - 1$，$a_8 = 2$，求$a_1$与$d$；
(2)已知$a_1 + a_6 = 12$，$a_4 = 7$，求$a_n$.

答案： 解：
(1)由题意知$\begin{cases}a_1 + (5 - 1)d = -1,\\a_1 + (8 - 1)d = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1 = -5,\\d = 1.\end{cases}$
(2)设等差数列的公差为$d$，由题意知$\begin{cases}a_1 + a_1 + (6 - 1)d = 12,\\a_1 + (4 - 1)d = 7,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1 = 1,\\d = 2.\end{cases}$
所以$a_n = a_1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1) × 2 = 2n - 1$，$n \in N^*$.