《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题3】 在数列的通项公式中，给定任意的序号$n$，就会有唯一确定的$a_n$与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？

答案： 提示：函数.

【例3】 已知数列${a_n}$的通项公式是$a_n = (n + 1)(\frac{10}{11})^n，n∈N^*$. 试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.

答案： 解：方法一 $a_{n + 1} - a_n = (n + 2)(\frac{10}{11})^{n + 1} - (n + 1)(\frac{10}{11})^n = \frac{(9 - n)(\frac{10}{11})^n}{11}$，
当$n ＜ 9$时，$a_{n + 1} - a_n ＞ 0$，即$a_{n + 1} ＞ a_n$；
当$n = 9$时，$a_{n + 1} - a_n = 0$，即$a_{n + 1} = a_n$；
当$n ＞ 9$时，$a_{n + 1} - a_n ＜ 0$，即$a_{n + 1} ＜ a_n$.
则$a_1 ＜ a_2 ＜ a_3 ＜ ·s ＜ a_9 = a_{10}$，且$a_{10} ＞ a_{11} ＞ a_{12} ＞ ·s$，
故数列$\{ a_n \}$有最大项，为第9项和第10项，且$a_9 = a_{10} = 10 × (\frac{10}{11})^9$.
方法二 根据题意，令$\begin{cases} a_{n - 1} \leq a_n, \\ a_n \geq a_{n + 1}, \end{cases}$
即$\begin{cases} n · (\frac{10}{11})^{n - 1} \leq (n + 1)(\frac{10}{11})^n, \\ (n + 1)(\frac{10}{11})^n \geq (n + 2)(\frac{10}{11})^{n + 1}, \end{cases}$
解得$9 \leq n \leq 10$.
又$n \in \mathbf{N}^*$，则$n = 9$或$n = 10$.
故数列$\{ a_n \}$有最大项，为第9项和第10项，且$a_9 = a_{10} = 10 × (\frac{10}{11})^9$.

【跟踪训练3】 已知数列$a_n = -n^2 + 4n + 2$，则该数列中最大项的序号是 (A)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： A 因为$a_n = -(n - 2)^2 + 6$，$n \in \mathbf{N}^*$，所以当$n = 2$时，$a_n$取得最大值.