《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例1】(1)①数列$\{ 2^{n - 1}\}$的前99项和为(C)
A.$2^{100} - 1$
B.$1 - 2^{100}$
C.$2^{99} - 1$
D.$1 - 2^{99}$
②在等比数列$\{ a_{n}\}$中,$q = \frac{1}{2}$,$S_{100} = 150$,求$a_{2} + a_{4} + a_{6} + ·s + a_{100}$的值.
(2)在等比数列$\{ a_{n}\}$中.
①$S_{2} = 30$,$S_{3} = 155$,求$S_{n}$;
②$a_{1} + a_{3} = 10$,$a_{4} + a_{6} = \frac{5}{4}$,求$S_{5}$;
③$a_{1} + a_{n} = 66$,$a_{2}a_{n - 1} = 128$,$S_{n} = 126$,求公比$q$.

答案：
(1)①C数列$\{2^{n-1}\}$为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为$S_{99}=\frac{1-2^{99}}{1-2}=2^{99}-1$.
②解：方法一$S_{100}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+·s+a_{99}+a_{100}=2(a_{2}+a_{4}+·s+a_{100})+a_{2}+a_{4}+·s+a_{100}=3(a_{2}+a_{4}+·s+a_{100})=150$，
$\therefore a_{2}+a_{4}+a_{6}+·s+a_{100}=50$.
方法二$S_{100}=\frac{a_{1}[1-(\frac{1}{2})^{100}]}{1-\frac{1}{2}}=150$，
整理得$a_{1}[1-(\frac{1}{2})^{100}]=75$，
又$a_{2}+a_{4}+·s+a_{100}=\frac{\frac{a_{1}}{2}[1-(\frac{1}{2})^{100}]}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}a_{1}[1-(\frac{1}{2})^{100}]=\frac{2}{3}×75=50$.
(2)解：①由题意知$\begin{cases}a_{1}(1+q+q^{2})=155,\\a_{1}q^{3}+a_{1}q^{5}=\frac{5}{4},\\\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_{1}=5,\\q=5\\\end{cases}$或$\begin{cases}a_{1}=180,\\q=-\frac{5}{6}.\\\end{cases}$
从而$S_{n}=\frac{1}{4}×5^{n+1}-\frac{5}{4}$或$S_{n}=\frac{1080×[1-(-\frac{5}{6})^{n}]}{11}$
②方法一由题意知$\begin{cases}a_{1}+a_{1}q^{2}=10,\\a_{1}q^{3}+a_{1}q^{5}=\frac{5}{4},\\\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_{1}=8,\\q=\frac{1}{2}\\\end{cases}$，
从而$S_{5}=\frac{a_{1}(1-q^{5})}{1-q}=\frac{31}{2}$.
方法二由$a_{4}+a_{6}=(a_{1}+a_{3})q^{3}$，
得$q^{3}=\frac{1}{8}$，从而$q=\frac{1}{2}$.
又$a_{1}+a_{3}=a_{1}(1+q^{2})=10$，
所以$a_{1}=8$，
从而$S_{5}=\frac{a_{1}(1-q^{5})}{1-q}=\frac{31}{2}$.
③因为$a_{2}a_{n-1}=a_{1}a_{n}=128$，且$a_{1}+a_{n}=66$，
所以$a_{1},a_{n}$是方程$x^{2}-66x+128=0$的两个根.
从而$\begin{cases}a_{1}=2,\\a_{n}=64\\\end{cases}$或$\begin{cases}a_{n}=2,\\a_{1}=64.\\\end{cases}$
又$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q}=126$，
所以$q=2$或$\frac{1}{2}$.