《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题2】 我们知道,任意两个实数都有等差中项,那么,任意两个实数是否也有等比中项?

答案： 【问题2】 提示：不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设$-1,x,1$这三个数成等比数列，则根据定义会有$\frac{x}{-1}=\frac{1}{x}$，即$x^2=-1$，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项.若$1,x,4$这三个数成等比数列，由定义可知，$x^2=4$，即$x=\pm2$；或$-1,x,-4$这三个数成等比数列，由定义可知，$x^2=4$，即$x=\pm2$，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数.

等比中项:如果在$a$与$b$中间插入一个数$G$,使$a,G,b$成等比数列,那么$G$叫做$a$与$b$的 ,此时,$G^2=ab$.

答案： 等比中项 $G^2=ab$

【例2】 (多选)若$-2,x,y,z,-8$是等比数列,则 (BC)

A.$y= \pm 4$
B.$y=-4$
C.$xz=16$
D.$xz=-16$

答案： 【例2】 BC 因为$y$是$-2,-8$的等比中项，所以$y^2=16$.
又等比数列的奇数项的符号相同，所以$y=-4$.
因为$y$是$x,z$的等比中项，所以$xz=16$.

【跟踪训练2】 在等差数列$\{ a_n\}$中,$a_3=0$.如果$a_k$是$a_6$与$a_{k+6}$的等比中项,那么$k$
=9.

答案： 【跟踪训练2】 9 设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，由题意得$a_3=a_1+2d=0$，$\therefore a_1=-2d$.又$\because a_k$是$a_6$与$a_{k+6}$的等比中项，$\therefore a_k^2=a_6a_{k+6}$，即$[a_1+(k-1)d]^2=(a_1+5d)·[a_1+(k+5)d]$，$[(k-3)d]^2=3d·(k+3)d$，解得$k=9$或$k=0$(舍去).

【问题3】 类比等差数列,你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗?

答案： 【问题3】 提示：设一个等比数列的首项是$a_1$，公比是$q$，则由定义可知$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\in N^* 且n\geq2)$.
方法一 $a_n=a_n×\frac{a_{n-1}}{a_n}×\frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}×·s×\frac{a_3}{a_2}×\frac{a_2}{a_1}× a_1=q× q×·s× q× q× a_1=a_1q^{n-1}$，
当$n=1$时，上式也成立.
方法二 $a_2=a_1q$，
$a_3=a_2q=(a_1q)q=a_1q^2$，
$a_4=a_3q=(a_1q^2)q=a_1q^3$，
⋯
由此可得$a_n=a_1q^{n-1}(n\geq2)$，
当$n=1$时，上式也成立.

【问题4】 观察等比数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?

答案： 【问题4】 提示：由$a_n=a_1q^{n-1}=\frac{a_1}{q}· q^n(x\in\mathbf{R})$当$x=n$时的函数值，即$a_n=f(n)$.