《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

[跟踪训练1]
数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和记为$S_{n}$，已知$a_{1}=1,a_{n + 1}=\frac{n + 2}{n}S_{n}(n = 1,2,3,·s)$.
证明：数列$\{\frac{S_{n}}{n}\}$是等比数列.

答案： 证明：由$a_{1}=1,a_{n+1}=\frac{n+2}{n}S_{n}，$
得$a_{n}＞0,S_{n}＞0.$
由$a_{n+1}=\frac{n+2}{n}S_{n},a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}，$
得$(n+2)S_{n}=n(S_{n+1}-S_{n})，$
整理，得$nS_{n+1}=2(n+1)S_{n}，$
所以$\frac{S_{n+1}}{n+1}=2·\frac{S_{n}}{n}，$则$\frac{S_{n+1}}{n}=\frac{2}{n}·\frac{S_{n}}{n}（$此处理应原文可能存在错误，按照推导应为$\frac{S_{n + 1}}{n + 1}=2·\frac{S_{n}}{n} ）$
因为$\frac{S_{1}}{1}=\frac{a_{1}}{1}=1，$所以数列$\{\frac{S_{n}}{n}\}$是以1为首项，2为公比的等比数列.

【问题2】结合上面的类比，你能把等差数列里面的$a_{n}=a_{m}+(n - m)d$类比出等比数列中相似的性质吗？

答案： 提示：类比可得$a_{n}=a_{m}q^{n-m}；$由等比数列的定义可知$a_{n}=a_{1}q^{n-1}，$$a_{m}=a_{1}q^{m-1}，$两式相除可得$\frac{a_{n}}{a_{m}}=\frac{a_{1}q^{n-1}}{a_{1}q^{m-1}}=q^{(n-1)-(m-1)}=q^{n-m}，$即$a_{n}=a_{m}q^{n-m}.$

【问题3】结合上面的类比，你能把等差数列里面的$a_{m}+a_{n}=a_{k}+a_{l}$，类比出等比数列中相似的性质吗？

答案： 提示：类比可得$a_{m}a_{n}=a_{k}a_{l}，$其中$m+n=k+l,m,n,k,l\in N^{*}.$
推导过程：$a_{m}=a_{1}q^{m-1}，$$a_{n}=a_{1}q^{n-1}，$$a_{k}=a_{1}q^{k-1}，$$a_{l}=a_{1}q^{l-1}，$
所以$a_{m}a_{n}=a_{1}q^{m-1}· a_{1}q^{n-1}=a_{1}^{2}q^{m+n-2}，$
$a_{k}a_{l}=a_{1}q^{k-1}· a_{1}q^{l-1}=a_{1}^{2}q^{k+l-2}，$
因为m+n=k+l，所以有$a_{m}a_{n}=a_{k}a_{l}.$

1. 等比数列通项公式的推广和变形$a_{n} =$$a_{m}q^{n-m}$.

答案： $1.a_{m}q^{n-m}$

2. 设数列$\{ a_{n}\}$为等比数列，则
(1) 若$k + l = m + n(k,l,m,n\in\mathbf{N}^{*})$，则$a_{k}· a_{l}=a_{m}· a_{n}$.
(2) 若$m,p,n$成等差数列，则$a_{m},a_{p},a_{n}$成等比数列.

答案： $2.(1)a_{k}· a_{l}=a_{m}· a_{n} (2)a_{m},a_{p},a_{n}$