《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例 1】 (1) 已知数列$\{ a_{n}\}$的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，且 $S_{n} = 2a_{n} - 2(n \in \mathbf{N}^{*})$.
①求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
②若 $b_{n} = \frac{1 + \log_{2}a_{n}}{a_{n}}$，求数列$\{ b_{n}\}$的前 $n$ 项和 $T_{n}$.
(2) 在 $a:S_{n} = 2^{n} - 3n - 1,b:a_{n + 1} = 2a_{n} + 3$，$a_{1} = - 1$ 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答. 设数列$\{ a_{n}\}$的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，且.
①求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
②若 $b_{n} = n · (a_{n} + 3)$，求数列$\{ b_{n}\}$的前 $n$ 项和 $T_{n}$.
注: 如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

答案： 解：
(1)①因为$S_{n}=2a_{n}-2$，当$n=1$时，$a_{1}=S_{1}=2a_{1}-2$，解得$a_{1}=2$，
当$n \geqslant 2$时，$S_{n-1}=2a_{n-1}-2$，
所以$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=(2a_{n}-2)-(2a_{n-1}-2)$
$=2a_{n}-2a_{n-1}$，
即$a_{n}=2a_{n-1}(n \geqslant 2)$.
所以数列$\{ a_{n}\}$是首项为$2$，公比为$2$的等比数列，
故$a_{n}=2 × 2^{n-1}=2^{n}$.
②由①知$a_{n}=2^{n}$，
则$b_{n}=\frac{1+ \log_{2}a_{n}}{a_{n}}=\frac{1+ \log_{2}2^{n}}{2^{n}}=\frac{n+1}{2^{n}}$，
所以$T_{n}=\frac{2}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{4}{2^{3}}+·s+\frac{n+1}{2^{n}}$，①
$\frac{1}{2}T_{n}=\frac{2}{2^{2}}+\frac{3}{2^{3}}+·s+\frac{n}{2^{n}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}$，②
①-②得$\frac{1}{2}T_{n}=1+(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+·s+\frac{1}{2^{n}})-\frac{n+1}{2^{n+1}}$
$=\ 1+\frac{\frac{1}{2^{2}} ×(1-\frac{1}{2^{n-1}})}{1-\frac{1}{2}}=\ 1+\frac{\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}=\ 1+\frac{1}{2}-\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{2^{n+1}}$.
所以数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}=3-\frac{n+3}{2^{n}}$.
(2)①若选$a$：$\because S_{n}=2^{n}-3n-1$，
当$n \geqslant 2$时，
$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2^{n}-3n-1-[2^{n-1}-3(n-1)-1]=2^{n-1}-3$，
当$n=1$时，$a_{1}=S_{1}=-2$满足上式，
故$a_{n}=2^{n-1}-3$.
若选$b$：$a_{n+1}=2a_{n}+3$，$a_{1}=-1$，
易得$a_{n+1}+3=2(a_{n}+3)$，
于是数列$\{ a_{n}+3\}$是以$a_{1}+3=2$为首项，$2$为公比的等比数列，
$\therefore a_{n}+3=2^{n}$，$\therefore a_{n}=2^{n}-3$.
②若选$a$：由①得$b_{n}=n · 2^{n-1}$，
从而$T_{n}=1 × 2^{0}+2 × 2^{1}+3 × 2^{2}+·s+n · 2^{n-1}$，
$2T_{n}=1 × 2^{1}+2 × 2^{2}+3 × 2^{3}+·s+n · 2^{n}$，
作差得$-T_{n}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+·s+2^{n-1}-n · 2^{n}$
$=\frac{1-2^{n}}{1-2}-n · 2^{n}=(1-n)2^{n}-1$，
于是$T_{n}=(n-1)2^{n}+1$.
若选$b$：由①得$b_{n}=n · 2^{n}$，
从而$T_{n}=1 × 2^{1}+2 × 2^{2}+·s+n · 2^{n}$，
$2T_{n}=1 × 2^{2}+2 × 2^{3}+3 × 2^{4}+·s+n · 2^{n+1}$，
作差得$-T_{n}=2^{1}+2^{2}+·s+2^{n}-n · 2^{n+1}$
$=\frac{2 ×(1-2^{n})}{1-2}-n · 2^{n+1}=(1-n)2^{n+1}-2$，
于是$T_{n}=(n-1)2^{n+1}+2$.

【跟踪训练 1】 求和: $S_{n} = x + 2x^{2} + 3x^{3} + ·s+ nx^{n}(x \neq 0)$.

答案： 解：当$x=1$时，$S_{n}=1+2+3+·s+n=\frac{n(n+1)}{2}$；
当$x \neq 1$时，$S_{n}=x+2x^{2}+3x^{3}+·s+nx^{n}$，
$xS_{n}=x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+·s+(n-1)x^{n}+nx^{n+1}$，
$\therefore (1-x)S_{n}=x+x^{2}+x^{3}+·s+x^{n}-nx^{n+1}$
$=\frac{x(1-x^{n})}{1-x}-nx^{n+1}$，
$\therefore S_{n}=\frac{x(1-x^{n})}{(1-x)^{2}}-\frac{nx^{n+1}}{1-x}$.
综上可得，
$S_{n}=\begin{cases} \frac{n(n+1)}{2},x=1,\\ \frac{x(1-x^{n})}{(1-x)^{2}}-\frac{nx^{n+1}}{1-x},x \neq 1且x \neq 0.\end{cases}$