《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例 2】 (1) 已知$\{a_n\}$为等差数列，$a_{15}=8$，$a_{60}=20$，求$a_{75}$.
(2) 已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1 - a_5 + a_9 - a_{13}+a_{17}=117$，则$a_3 + a_{15}=$234.

答案：
(1)解：方法一 (利用$a_n = a_m + (n - m)d$)
设数列$\{a_n\}$的公差为$d$，
则$a_{60} = a_{15} + (60 - 15)d = 8 + 45d$，
所以$d = \frac{20 - 8}{45} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}$，
所以$a_{75} = a_{60} + (75 - 60)d = 20 + 15 × \frac{4}{15} = 24$.
方法二 (利用隔项成等差数列)
因为$\{a_n\}$为等差数列，
所以$a_{15}, a_{30}, a_{45}, a_{60}, a_{75}$也成等差数列，设其公差为$d$，$a_{15}$为首项，则$a_{60}$为第四项，
所以$a_{60} = a_{15} + 3d$，解得$d = 4$，
所以$a_{75} = a_{60} + d = 24$.
(2)234 $\because$在等差数列$\{a_n\}$中，若$m + n = p + q$，
则$a_m + a_n = a_p + a_q$，$\therefore a_1 + a_{17} = a_5 + a_{13}$.
由条件等式，得$a_9 = 117$.
$\therefore a_3 + a_{15} = 2a_9 = 2 × 117 = 234$.

【跟踪训练 2】 (1) 已知$\{b_n\}$为等差数列，若$b_3=-2$，$b_{10}=12$，则$b_8=$8.
(2) 已知等差数列$\{a_n\}$满足$a_1 + a_2 + a_3+·s + a_{101}=0$，则有(C)
A. $a_1 + a_{101}＞0$
B. $a_1 + a_{101}＜0$
C. $a_3 + a_{99}=0$
D. $a_{51}=51$
(3) 等差数列$\{a_n\}$中，若$a_2$，$a_{2022}$为方程$x^2 - 10x + 16 = 0$的两根，则$a_1 + a_{1012}+a_{2023}$等于(B)
A. $10$
B. $15$
C. $20$
D. $40$

答案：
(1)8 方法一 $\because \{b_n\}$为等差数列，$\therefore$可设其公差为$d$，
则$d = \frac{b_{10} - b_3}{10 - 3} = \frac{12 - (-2)}{7} = 2$，
$\therefore b_n = b_3 + (n - 3)d = 2n - 8$.
$\therefore b_8 = 2 × 8 - 8 = 8$.
方法二 由$\frac{b_8 - b_3}{8 - 3} = \frac{b_{10} - b_3}{10 - 3} = d$，
得$b_8 = \frac{b_{10} - b_3}{10 - 3} × 5 + b_3 = 2 × 5 + (-2) = 8$.
(2)C 由等差数列的性质得，$a_1 + a_{101} = a_2 + a_{100} = ·s = a_{50} + a_{52} = 2a_{51}$，
由于$a_1 + a_2 + a_3 + ·s + a_{101} = 0$，所以$a_{51} = 0$，
故$a_3 + a_{99} = 2a_{51} = 0$.
(3)B $\because a_2, a_{2022}$为方程$x^2 - 10x + 16 = 0$的两根，
$\therefore a_2 + a_{2022} = 10$，
由等差数列的性质得$2a_{1012} = 10$，即$a_{1012} = 5$，
$\therefore a_1 + a_{1012} + a_{2023} = 3a_{1012} = 15$.

【问题 4】 若数列$\{a_n\}$是等差数列，首项为$a_1$，公差为$d$，在$\{a_n\}$中每相邻两项之间都插入$4$个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？

答案： 提示：设新数列为$\{b_n\}$，公差为$d'$，则有$b_1 = a_1$，$b_6 = a_2$，所以$b_6 - b_1 = a_2 - a_1 = d$，故有$5d' = d$，所以$d' = \frac{1}{5}d$.