《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【跟踪训练3】 在等差数列$\{ a_n\}$中，
(1)已知$a_5 - a_3 = 12$，$a_{12} = 20$，求$a_1$和$d$；
(2)已知$a_1 = 9$，公差$d = - 2$，$a_n = - 15$，求$n$；
(3)已知$a_3 = 9$，$a_9 = 3$，求$\{ a_n\}$的通项公式.

答案： 解：
(1)因为$a_5 - a_3 = 12$，所以公差$d = 6$.
由$a_{12} = a_1 + 11d = 20$，所以$a_1 = -46$，故$a_1 = -46$，$d = 6$.
(2)由$a_n = a_1 + (n - 1)d$，得$-15 = 9 - 2(n - 1)$，解得$n = 13$.
(3)由已知可得$\begin{cases}a_3 = a_1 + 2d = 9,\\a_9 = a_1 + 8d = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1 = 11,\\d = -1.\end{cases}$
所以$a_n = a_1 + (n - 1)d = 11 - (n - 1) = -n + 12$.

【例4】 下面是关于公差$d ＞ 0$的等差数列$\{ a_n\}$的四个结论：$p_1$：数列$\{ a_n\}$是递增数列；$p_2$：数列$\{ na_n\}$是递增数列；$p_3$：数列$\{ \frac{a_n}{n}\}$是递增数列；$p_4$：数列$\{ a_n + 3nd\}$是递增数列.其中正确的为 (D)

A.$p_1,p_2$
B.$p_3,p_4$
C.$p_2,p_3$
D.$p_1,p_4$

答案： D

【跟踪训练4】 (多选)下列数列是递增的等差数列的是 (AD)

A.$7,13,19,25,31$
B.$1,1,2,3,·s ,n$
C.$9,9,9,9,·s$
D.数列$\{ a_n\}$满足$a_{n + 1} - a_n = 3$

答案： AD 因为$13 - 7 = 19 - 13 = 25 - 19 = 31 - 25 = 6 ＞ 0$，所以A中数列是公差为6的递增等差数列.
因为$1 - 1 = 0 \neq 2 - 1$，所以B中数列不是等差数列.
因为$9 - 9 = 9 - 9 = ·s = 0$，所以C中数列是公差为0的等差数列，但不是递增数列.
因为$a_{n + 1} - a_n = 3 ＞ 0$，所以D中数列$\{a_n\}$是公差为3的递增等差数列.

1.(多选)下列数列中是等差数列的有 (AB)

A.$8,8,8,8$
B.$- 2,-1,0,1$
C.$1,2,4,6$
D.$1,1,2,3$

答案： AB A中的数列是常数列，是等差数列，公差为0；
B中的数列是公差为1的等差数列；
C中的数列的第3项与第2项的差为2，第2项与第1项的差为1，因此该数列不是等差数列；
D中的数列的第2项与第1项的差为0，从第3项开始，每一项与它的前一项的差是1，因此该数列不是等差数列.

2. 已知$m$和$2n$的等差中项是$8$，$2m$和$n$的等差中项是$10$，则$m$和$n$的等差中项是 (C)

A.$5$
B.$3$
C.$6$
D.$4$

答案： C 由题意得$\begin{cases}m + 2n = 8 × 2 = 16,\\2m + n = 10 × 2 = 20,\end{cases}$
$\therefore 3(m + n) = 20 + 16 = 36$，$\therefore m + n = 12$，
$\therefore \frac{m + n}{2} = 6$.

3. 已知数列$\{ a_n\}$为等差数列，则下列不一定成立的是 (D)

A.若$a_2 ＞ a_1$，则$a_3 ＞ a_1$
B.若$a_2 ＞ a_1$，则$a_3 ＞ a_2$
C.若$a_3 ＞ a_1$，则$a_2 ＞ a_1$
D.若$a_2 ＞ a_1$，则$a_1 + a_2 ＞ a_1$

答案： D 利用等差数列的单调性可得，若$a_2 ＞ a_1$，则公差$d ＞ 0$，所以等差数列$\{a_n\}$是递增数列，所以$a_3 - a_1 = 2d ＞ 0$，$a_3 - a_2 = d ＞ 0$成立，所以A，B正确；若$a_3 ＞ a_1$，则$a_3 - a_1 = 2d ＞ 0$，所以$a_2 - a_1 = d ＞ 0$成立，所以C正确；若$a_2 ＞ a_1$，$a_1 + a_2 ＞ a_1$不一定成立，例如$a_1 ＜ a_2 ＜ 0$时不一定成立，所以D不一定成立.

4. 写出一个具有下列性质①②的数列$\{ a_n\}$的通项公式$a_n =$$n$(答案不唯一)$\underline{\hspace{8em}}$，①$a_{m + n} = a_m + a_n(m,n\in\mathbf{N}^{*})$；②$\{ a_n\}$单调递增.

答案： $n$(答案不唯一) 假设数列为等差数列，设其公差为$d$，由性质①可得，$a_1 + (m + n - 1)d = a_1 + (m - 1)d + a_1 + (n - 1)d \Rightarrow a_1 = d$，
再根据性质②可知，显然$a_n = n$满足题意.