《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例2】 设$f(x)=\frac{4^{x}}{4^{x}+2}$,若$S=f(\frac{1}{2024})+f(\frac{2}{2024})+·s +f(\frac{2023}{2024})$，则$S=\underline{\underline{$$\frac{2023}{2}$$}}$.

答案： $\because f(x)=\frac{4^{x}}{4^{x}+2}$，$\therefore f(1-x)=\frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2}=\frac{2}{2+4^{x}}$，$\therefore f(x)+f(1-x)=\frac{4^{x}}{4^{x}+2}+\frac{2}{2+4^{x}}=1$。$S=f(\frac{1}{2024})+f(\frac{2}{2024})+·s+f(\frac{2023}{2024})$，①$S=f(\frac{2023}{2024})+f(\frac{2022}{2024})+·s+f(\frac{1}{2024})$，②①+②，得$2S=[f(\frac{1}{2024})+f(\frac{2023}{2024})]+$$[f(\frac{2}{2024})+f(\frac{2022}{2024})]+·s+[f(\frac{2023}{2024})+$$f(\frac{1}{2024})]=2023$，$\therefore S=\frac{2023}{2}$。

【跟踪训练2】 已知函数$f(x)$对任意的$x\in R$，都有$f(x)+f(1 - x)=1$，若数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n}=f(0)+f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+·s +f(\frac{n - 1}{n})+f(1)$，
求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 解：$\because f(x)+f(1-x)=1$，$\therefore f(\frac{1}{n})+f(\frac{n-1}{n})=1$。$\because a_{n}=f(0)+f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+·s+f(\frac{n-1}{n})+$$f(1)$，①$\therefore a_{n}=f(1)+f(\frac{n-1}{n})+f(\frac{n-2}{n})+·s+f(\frac{1}{n})+$$f(0)$，②①+②得$2a_{n}=n+1$，$\therefore a_{n}=\frac{n+1}{2}$，故数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}$$=\frac{n+1}{2}$。

【例3】 已知数列$a_{n}=(-1)^{n}n$，求数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$.

答案： 解：方法一 若$n$是偶数，则$S_{n}=(-1+2)+$$(-3+4)+(-5+6)+·s+[-(n-1)+n]=\frac{n}{2}$若$n$是奇数，则$S_{n}=(-1+2)+(-3+4)+(-5$$+6)+·s+(-n)=\frac{n-1}{2}-n=-\frac{n+1}{2}$。综上所述，$S_{n}=\begin{cases} \frac{n}{2},n为偶数,\\-\frac{n+1}{2},n为奇数,\end{cases}$ $n \in N^{*}$。方法二 (分组求和)若$n$是偶数，则$S_{n}=-1+2-3+4-·s-(n-1)+n$$=-[1+3+·s+(n-1)]+(2+4+·s+n)$$=-\frac{n^{2}}{4}+\frac{n(n+2)}{4}=\frac{n}{2}$；若$n$是奇数，则$S_{n}=-1+2-3+4-·s+(n-1)-n$$=-(1+3+·s+n)+[2+4+·s+(n-1)]$$=-\frac{(n+1)^{2}}{4}+\frac{(n-1)(n+1)}{4}=-\frac{n+1}{2}$，综上所述，$S_{n}=\begin{cases} \frac{n}{2},n为偶数,\\-\frac{n+1}{2},n为奇数.\end{cases}$

【跟踪训练3】 已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{n}+a_{n + 1}=3$，$S_{n}$为其前$n$项和，则$S_{2025}$等于
(B)

A.$3036$
B.$3037$
C.$3038$
D.$3039$

答案： B 由题意$a_{2}=2$，$a_{3}=1$，$a_{4}=2$，$·s$，故奇数项为$1$，偶数项为$2$，则$S_{2025}=(a_{1}+a_{2})+$$(a_{3}+a_{4})+·s+(a_{2023}+a_{2024})+a_{2025}=3 ×$$1012+1=3037$。