《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例3】 如图所示，作边长为$a$的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆. 如此下去，前$n$个内切圆的面积和为$\frac{a^{2}}{9}(1 - \frac{1}{2^{2n}})\pi$.
【总结导通】此类几何问题可以转化为等比数列模型，利用等比数列的有关知识解决，要注意步骤的规范性.

答案： $\frac{a^{2}}{9}(1 - \frac{1}{2^{2n}})\pi$ 设第$n$个正三角形的内切
圆的半径为$a_{n}$，
∵从第二个正三角形开始每一个正三角形的边
长是前一个的$\frac{1}{2}$，
每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三
角形内切圆半径的$\frac{1}{2}$，
∴$a_{1} = \frac{1}{2}a\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{6}a$，$a_{2} = \frac{1}{2}a_{1}$，…，$a_{n} = \frac{1}{2}a_{n - 1}$，
∴数列$\{a_{n}\}$是以$\frac{\sqrt{3}}{6}a$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴$a_{n} = \frac{\sqrt{3}}{6} × (\frac{1}{2})^{n - 1}a$，
设前$n$个内切圆的面积和为$S_{n}$，
则$S_{n} = \pi(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + … + a_{n}^{2})$
$ = \pi a^{2}[1 + (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{4})^{2} + … + (\frac{1}{2^{n - 1}})^{2}]$
$ = \pi a^{2}[1 + \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^{2} + … + (\frac{1}{4})^{n - 1}]$
$ = \frac{4}{3} × \frac{a^{2}}{12}(1 - \frac{1}{4^{n}})\pi = \frac{a^{2}}{9}(1 - \frac{1}{4^{n}})\pi$
$ = \frac{a^{2}}{9}(1 - \frac{1}{2^{2n}})\pi$.

【跟踪训练3】 如图，正三角形$ABC$的边长为20 cm，取BC边的中点E，作正三角形BDE；取DE边的中点G，作正三角形DFG……，如此继续下去，可得到一列三角形$\triangle ABC, \triangle BDE$，$\triangle DFG ·s$，则前20个正三角形的面积和为$\frac{400\sqrt{3}}{3}(1 - \frac{1}{4^{20}}) cm^2$.

答案： $\frac{400\sqrt{3}}{3}(1 - \frac{1}{4^{20}}) cm^2$ 设第$n$个
三角形边长为$a$，则第$n + 1$个三角形边长为$\frac{a}{2}$，
设第$n$个三角形面积为$a_{n}$，则$a_{n} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$，$a_{n + 1} = \frac{\sqrt{3}}{4} · (\frac{a}{2})^{2} = \frac{\sqrt{3}}{16}a^{2}$，
∴$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{1}{4}$，$a_{1} = S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} × 20^{2} = 100\sqrt{3}$，
所以这些三角形面积成等比数列，且公比$q = \frac{1}{4}$，
首项$a_{1} = 100\sqrt{3}$，
所以前$20$个正三角形的面积和为
$S_{20} = \frac{100\sqrt{3}(1 - \frac{1}{4^{20}})}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{400\sqrt{3}}{3}(1 - \frac{1}{4^{20}})( cm^2)$.

1. 某森林原有木材量为$a m^3$，每年以25％的速度增长，5年后，这片森林共有木材量
(A)

A.$a(1 + 25\%)^5$
B.$a(1 + 25\%)^4$
C.$4a\left[ \left( \frac{5}{4} \right)^5 - 1\right]$
D.$a(1 + 25\%)^6$

答案： 1.A 森林中原有木材量为$a$，一年后为$a(1 + 25\%)$，两年后为$a(1 + 25\%)^{2}$，…，五年后为$a(1 + 25\%)^{5}$.

2. 观察一列算式：$1 \otimes 1, 1 \otimes 2, 2 \otimes 1, 1 \otimes 3, 2 \otimes 2, 3 \otimes 1, 1 \otimes 4, 2 \otimes 3, 3 \otimes 2, 4 \otimes 1, ·s$，则式子$3 \otimes 5$是第 (C)

A.22 项
B.23 项
C.24 项
D.25 项

答案： 2.C 两数和为$2$的有$1$个，和为$3$的有$2$个，和为$4$的有$3$个，和为$5$的有$4$个，和为$6$的有$5$个，
和为$7$的有$6$个，前面共有$21$个，$3\otimes5$为和为$8$的第$3$项，故$3\otimes5$是第$24$项.

3. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍. 当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟. 按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为$10^{-2}$米时，乌龟爬行的总距离为 (B)

A.$\frac{10^4 - 1}{90}$米
B.$\frac{10^5 - 1}{900}$米
C.$\frac{10^5 - 9}{90}$米
D.$\frac{10^4 - 9}{900}$米

答案： 3.B 由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数
列$\{a_{n}\}$，且$a_{1} = 100$，$q = \frac{1}{10}$，$a_{n} = 10^{- 2}$；
∴乌龟爬行的总距离为$S_{n} = \frac{a_{1} - a_{n}q}{1 - q} = \frac{100 - 10^{- 2} × \frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{10^{5} - 1}{900}$（米）.

4. 中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，现打算在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼.

答案： 4.3 依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成
等比数列$\{a_{n}\}(n \in N^{*},n \leq 9)$，公比$q = 2$，前$9$项
和为$1533$，于是得$S_{9} = \frac{a_{1}(1 - 2^{9})}{1 - 2} = 1533$，解得
$a_{1} = 3$，所以内部塔楼的顶层应挂$3$盏灯笼.