《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【问题2】网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第$n$行一共有多少个字？

答案：
提示:方法一　对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究.通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是S=$\frac{n(n+1)}{2}$,可见，结果与项数的奇偶无关.
详解答案
方法二　(如图)在原式的基础上,再加一遍1+2+3+…+n,
即S=1+2+3+...+n,
S=n+(n−1)+(n−2)+…+1,
避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和.
　　　　　　

【问题3】对于一般的等差数列$\{ a_n\}$，如何求其前$n$项和$S_n$？设其首项为$a_1$，公差为$d$.

答案： 提示:倒序相加法
$\begin{cases} S_n=a_1+a_2+a_3+·s+a_n,\\ S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+·s+a_1, \end{cases}$
$\Rightarrow$
$\begin{cases} S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+·s+a_1+(n-1)d,\\ S_n=a_n+a_n-d+a_n-2d+·s+a_n-(n-1)d, \end{cases}$
两式相加可得$2S_n=n(a_1+a_n)$，即$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$,上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等.

【例1】在等差数列$\{ a_n\}$中：
(1) 已知$a_5 + a_{10} = 58$，$a_4 + a_9 = 50$，求$S_{10}$；
(2) 已知$S_7 = 42$，$S_n = 510$，$a_{n - 3} = 45$，求$n$.

答案： 解:
(1)方法一　由已知条件得$\begin{cases} a_5+a_{10}=2a_1+13d=58, \\ a_4+a_9=2a_1+11d=50, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a_1=3, \\ d=4. \end{cases}$
$\therefore S_{10}=10a_1+\frac{10×(10-1)}{2}d=10×3+\frac{10×9}{2}×4=210$.
方法二　由已知条件得$\begin{cases} a_5+a_{10}=(a_1+a_{10})+4d=58, \\ a_4+a_9=(a_1+a_{10})+2d=50, \end{cases}$
$\therefore a_1+a_{10}=42$,
$\therefore S_{10}=\frac{10(a_1+a_{10})}{2}=5×42=210$.
(2)$S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=7a_4=42,\therefore a_4=6$.
$\therefore S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(a_4+a_{n-3})}{2}$
$=\frac{n(6+45)}{2}=510$.
$\therefore n=20$.

【跟踪训练1】
(1) 已知等差数列$\{ a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 = 2$，$a_8 + a_{10} = 28$，则$S_9 =$ (B)
A. 36
B. 72
C. 144
D. 288
(2) (多选) 设等差数列$\{ a_n\}$的前$n$项和为$S_n (n \in \mathbf{N}^*)$，当首项$a_1$和公差$d$变化时，若$a_1 + a_8 + a_{15}$是定值，则下列各项中为定值的是 (BC)
A. $a_7$
B. $a_8$
C. $S_{15}$
D. $S_{16}$

答案：
(1)B　方法一
∵$a_8+a_{10}=2a_1+16d=28,a_1=2$,
$\therefore d=\frac{3}{2}$，$\therefore S_9=9×2+\frac{9×8}{2}×\frac{3}{2}=72$.
选择性第二册.数学
方法二
∵$a_8+a_{10}=2a_9=28,\therefore a_9=14$,
$\therefore S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=72$.
(2)BC　由$a_1+a_{15}=2a_8$，得$a_1+a_8+a_{15}=3a_8$是定值，可得$a_8$是定值，
$S_{15}=\frac{1}{2}×15×(a_1+a_{15})=15a_8$，
故$S_{15}$为定值，故选BC.