《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例 3】 某港口在一天 24 小时内潮水的高度近似满足关系式$s(t)=3\sin(\frac{\pi}{12}t+\frac{5\pi}{6})(0\leqslant t\leqslant24)$，其中$s$的单位是 m，$t$的单位是 h，求函数在$t = 18$时的导数，并解释它的实际意义.

答案： 解：设$f(x) = 3\sin x$，$x = \varphi(t) = \frac{\pi}{12}t + \frac{5\pi}{6}$，
所以$s'(t) = f'(x)\varphi'(t) = 3\cos x · \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4}\cos(\frac{\pi}{12}t + \frac{5\pi}{6})$，
将$t = 18$代入$s'(t)$，
得$s'(18) = \frac{\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{3} = \frac{\pi}{8}$.
$s'(18)$表示当$t = 18h$时，潮水的高度上升的速度为$\frac{\pi}{8}m/h$.

【跟踪训练 3】
(1)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正$n$边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率$\pi$的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一. 借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算. 设$f(x)=e^{x^2}$，则$f'(x)=$$2xe^{x^2}$$$，其在点$(0,1)$处的切线方程为$y = 1$.
(2)有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离$S$(单位：m)关于时间$t$(单位：s)的函数为$S = S(t)=5-\sqrt{25 - 9t^2}$. 求函数在$t = 1$s 时的导数，并解释它的实际意义.

答案：
(1)$2xe^{x^2}$ $y = 1$ $\because f(x) = e^{x^2}$，故$f'(x) = (x^2)'e^{x^2} = 2xe^{x^2}$，则$f'(0) = 0$.故曲线$y = f(x)$在点$(0,1)$处的切线方程为$y = 1$.
(2)解：函数$S = 5 - \sqrt{25 - 9t^2}$可以看作函数$S = 5 - \sqrt{x}$和$x = 25 - 9t^2$的复合函数，其中$x$是中间变量.
由导数公式可得$S'_x = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$，$x'_t = -18t$.
故由复合函数求导法则得
$S'(t) = S'_x · x'_t = (-\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}) · (-18t) = \frac{9t}{\sqrt{25 - 9t^2}}$，
将$t = 1$代入$S'(t)$，
得$S'(1) = 2.25$.
它表示当$t = 1s$时，梯子上端下滑的速度为$2.25m/s$.