《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

1. 下列所给函数为复合函数的是 (A)

A.$y=\ln(x - 2)$
B.$y=\ln x+x - 2$
C.$y=(x - 2)\ln x$
D.$y=\frac{\ln x}{x - 2}$

答案： 1.A 函数$y = \ln(x - 2)$是由函数$y = \ln u$和$u = \varphi(x) = x - 2$复合而成的，而B、C、D中的函数分别为函数$y = \ln x$与函数$\varphi(x) = x - 2$的加、乘、商的形式，不符合复合函数的定义，选A.

2. 设$f(x)=\log_3(x - 1)$，则$f'(2)$等于(C)

A.$\ln 3$
B.$-\ln 3$
C.$\frac{1}{\ln 3}$
D.$-\frac{1}{\ln 3}$

答案： 2.C $f'(x) = \frac{1}{(x - 1)\ln 3}$，故$f'(2) = \frac{1}{\ln 3}$.

3. 函数$y = x\ln(2x + 5)$的导数为 (B)

A.$\ln(2x + 5)-\frac{x}{2x + 5}$
B.$\ln(2x + 5)+\frac{2x}{2x + 5}$
C.$2x\ln(2x + 5)$
D.$\frac{x}{2x + 5}$

答案： 3.B $\because y = x\ln(2x + 5)$，
$\therefore y' = \ln(2x + 5) + \frac{2x}{2x + 5}$.

4. 曲线$y = \sin^2x$在点$A(\frac{\pi}{6},\frac{1}{4})$处的切线的斜率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 4.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\because y' = (\sin^2 x)' = 2\sin x(\sin x)' = 2\sin x\cos x = \sin 2x$，
$\therefore y'|_{x = \frac{\pi}{6}} = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore$曲线在点$A(\frac{\pi}{6},\frac{1}{4})$处的切线的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

【问题1】 观察下面高台跳水的运动轨迹以及其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
$h(t)=-4.9t^{2}+4.8t+11$，$v(t)=-9.8t+4.8$

答案： 提示:通过观察图象，可以发现
(1)运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)单调递增，相应地，v(t)=h'(t)＞0;
(2)从最高点到入水，离水面的高度h随时间t 的增加而减小,即h(t)单调递减,相应地,v(t)=h'(t)＜0.

【问题2】 观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系.

(1) $y = x$
(2) $y = x^{2}$
(3) $y = x^{3}$
(4) $y = \frac{1}{x}$

答案： 提示:
(1)函数y=x的定义域为R,并且在定义域上是增函数，其导数y'=1＞0.
(2)函数y=x²的定义域为R,在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.而y'=2x,当x＜0时,其导数y'＜0;当x＞0时,其导数y'＞0;当x=0时,其导数y'=0.
(3)函数y=x³的定义域为R,在定义域上为增函数.而y'=3x²,当x≠0时,其导数3x²＞0;当x=0时,其导数3x²=0.
(4)函数y=$\frac{1}{x}$的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减,而y'=−$\frac{1}{x²}$,因为x≠0,所以y'＜0.
　从以上四个函数的单调性及其导数符号的关系上说明,在区间(a,b)内,如果f'(x)＞0,那么函数y=f(x)在这个区间上单调递增;如果f'(x)＜0,那么函数y=f(x)在这个区间上单调递减.

函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间$(a,b)$内的函数$y = f(x)$.

答案： 增　减