《2025年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第二册通用版》

【例 3】 已知两个等差数列$\{a_n\}$：$5$，$8$，$11$，$·s$，与$\{b_n\}$：$3$，$7$，$11$，$·s$，它们的公共项组成数列$\{c_n\}$，则数列$\{c_n\}$的通项公式$c_n=$12n-1；若数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的项数均为$100$，则$\{c_n\}$的项数是25.

答案： 12n - 1 25 由于数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$都是等差数列，所以$\{c_n\}$也是等差数列，且公差为$3 × 4 = 12$，又$c_1 = 11$，故$c_n = 11 + 12(n - 1) = 12n - 1$.
又$a_{100} = 302$，$b_{100} = 399$，所以$11 \leq 12n - 1 \leq 302$，
解得$1 \leq n \leq 25.25$，
又$n \in N^*$，故$\{c_n\}$的项数为25.

【跟踪训练 3】 有两个等差数列$2$，$6$，$10$，$·s$，$190$和$2$，$8$，$14$，$·s$，$200$，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为(B)

A.$15$
B.$16$
C.$17$
D.$18$

答案： B 易知，第一个数列的公差为4，
第二个数列的公差为6，
故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，
所以通项公式为$a_n = 12n - 10$，
所以$12n - 10 \leq 190$，解得$n \leq \frac{50}{3}$，
而$n \in N^*$，所以$n$的最大值为16.

1. 在递增的等差数列$\{a_n\}$中，$a_3 + a_6=-6$，$a_4a_5 = 8$，公差$d$等于(B)

A.$4$
B.$2$
C.$-2$
D.$2$或$-2$

答案： 1.B 因为在递增的等差数列$\{a_n\}$中，$a_3 + a_6 = a_4 + a_5 = -6$，$a_4a_5 = 8$，
所以$a_4 = -4$，$a_5 = -2$，
则公差$d = a_5 - a_4 = 2$.

2. 已知数列$\{a_n\}$是等差数列，若$a_1 - a_9 + a_{17}=7$，则$a_3 + a_{15}$等于(B)

A.$7$
B.$14$
C.$21$
D.$7(n - 1)$

答案： 2.B 因为$a_1 - a_9 + a_{17} = (a_1 + a_{17}) - a_9 = 2a_9 - a_9 = a_9 = 7$，
所以$a_3 + a_{15} = 2a_9 = 2 × 7 = 14$.

3. 已知在数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 1$，$a_2 = 2$，对$\forall n\in\mathbf{N}^*$都有$2a_{n + 1}^3 = a_{n + 2}^3 + a_n^3$，则$a_{10}$等于(D)

A.$10$
B.$\sqrt[3]{10}$
C.$64$
D.$4$

答案： 3.D 对$\forall n \in N^*$都有$2a_{n + 1}^3 = a_n^3 + 2 + a_n^3$，由等差中项法可知，数列$\{a_n^3\}$为等差数列，
由于$a_1 = 1$，$a_2 = 2$，则数列$\{a_n^3\}$的公差为$d = a_2^3 - a_1^3 = 7$，
所以$a_{10}^3 = a_1^3 + 9d = 1 + 9 × 7 = 64$，因此，$a_{10} = 4$.

4. 已知等差数列$\{a_m\}$满足$a_{m - 1}+a_{m + 1}-a_m^2 - 1 = 0$，且$m＞1$，则$a_1 + a_{2m - 1}=$2.

答案： 4.2 $\because a_{m - 1} + a_{m + 1} = 2a_m$，
$\therefore 2a_m - a_m^2 - 1 = 0$，
即$(a_m - 1)^2 = 0$，$\therefore a_m = 1$，
$\therefore a_1 + a_{2m - 1} = 2a_m = 2$.